Diciembre 2011 - Sesión Navideña 5

XXVI Olimpiada Mexicana de Matemáticas en Baja California

Entrenamiento Ensenada - 23 de diciembre de 2011

Problema 1.
Si el lado del cuadrado es 1, ¿cuál es el valor de la región sombreada?

Problema 2.
Se tiene un cuadrado \(ABCD\) de lado 1cm. Se contruye otro cuadrado \(CAKP\) donde uno de sus lados coincide con una diagonal del cuadrado original. ¿Cuánto vale el área del cuadrado \(CAKP\)?

Problema 3.
Cada lado de un rectángulo se divide en tres segmentos de la misma longitud; los puntos obtenidos se unen definiendo un punto en el centro, como se indica en la figura. ¿Cuánto es el cociente del área de la parte blanca entre el área de la parte gris?

Problema 4.
Se tiene un cuadrado \(ABCD\) de área 1. Sobre la diagonal \(AC\), se dibujan los puntos \(M\) y \(N\) de tal forma que \(AC\) quede dividido en tres segmentos iguales. Por último, se construye un cuadrado \(MPNO\) tal que \(MN\) es una de sus diagonales. ¿Cuál es el área del cuadrado \(MPNO\)?

Problema 5.
¿Cuál es el perímetro del paralelogramo?

Problema 6.
Se tiene un triángulo rectángulo \(ABC\), con ángulo recto en \(C\). Sobre el lado \(BC\) se coloca el punto \(P\), tal que \(BP = 5\) y \(PC = 6\). Si se sabe que \(PA = 10\), ¿cuánto vale el área del triángulo \(ABP\)?

Problema 7.
Dos triángulos equiláteros iguales con perímetro de \(18\)cm se traslapan de manera que sus lados quedan paralelos como indica la figura. ¿Cuál es el perímetro del hexágono que queda formado adentro de la figura?

Problema 8.
Jorge está construyendo una caja. El empieza con un papel de \(10 \times 7\), y luego corta un cuadradito de \(2 \times 2\) en cada una de las esquinas. Para terminar, él dobla cada lado para formar la caja. ¿Cuál es el volumen de la caja?

Problema 9.
La altura \(CH\) y la mediana \(BK\) se dibujan en el triángulo acutángulo \(ABC\). Se sabe que \(BK = CH\) y que \(\angle KBC = \angle HCB\). Demuestra que \(ABC\) es un triángulo equilátero.

Problema 10.
Dado el cuadrilátero \(ABCD\) con ángulos rectos en \(B\) y \(D\), se sabe que \(BC = 1\), \(CD = 4\) y \(AD = 3\). Calcula el área de \(ABCD\).

Problema 11.
Un cuadrado de área 125 se divide en 5 partes de áreas iguales de las cuales 4 son cuadrados. Éstos se acomodan de forma que uno está en la equina superior izquierda, luego dos cuadrados están uno justo a la derecha y el otro justo debajo del primero. El cuarto cuadrado está entre el 2do y 3er cuadrado. ¿Cuál es la longitud del lado más pequeño de la región en forma de \(L\)?

Problema 12.
El rectángulo de la figura está dividido en 8 regiones. Las áreas de tres de las regiones son 2, 3 y 20 según se indica en la figura. Encuentra el área de la región sombreada.

Problema 13.
Se tiene un cuadrado \(ABCD\). Dentro de él, están los triángulos equiláteros \(ABE\) y \(CDF\). Si \(AB = 1\), ¿cuándo mide \(EF\)?

Problema 14.
Se tiene un triángulo \(ABC\) equilátero de lado 3. Los puntos \(E\) y \(D\) están sobre el lado \(AB\), y el punto \(F\) está sobre el lado \(CA\), de tal forma que \(BE = DA = FC = 1\). ¿Cuánto mide el ángulo \(DFE\)?

Problema 15.
En el triángulo \(ABC\), el ángulo en \(C\) mide \(90^{\circ}\). Sean \(E\) y \(F\) puntos en la hipotenusa \(AB\) tales que \(AE = AC\) y \(BF = BC\). Encuentra el valor de \(\angle ECF\).

Problema 16.
Sea \(ABC\) un triángulo. Sean \(E\) y \(D\) puntos sobre los lados \(AC\) y \(BC\), respectivamente. La bisectriz del ángulo \(\angle CAD\) y la bisectriz del ángulo \(\angle CBE\) se cortan en el punto \(F\). Si \(\angle AFB = 30^{\circ}\), ¿cuánto vale \(\angle AEB + \angle ADB\)?

Problema 17.
En la figura, se tiene un triángulo \(ABC\). El punto \(D\) sobre \(AC\) es tal que \(AB = AD\). Se sabe que \(\angle ABC - \angle ACB = 30^{\circ}\). Encuentra \(\angle CBD\).

Problema 18.
Sea \(ABCD\) un cuadrilátero tal que \(\angle C = 76^{\circ}\) y \(\angle D = 128^{\circ}\). Se trazan las bisectrices de \(\angle A\) y de \(\angle B\), que se cortan en \(P\). Encuentra \(\angle APB\).

Problema 19.
Sea \(ABCD\) un cuadrilátero tal que \(AB = AC\), \(AD = BD\) y \(\angle ADB = 30^{\circ} + \angle BAC\). ¿Cuánto vale \(\angle CBD\)?

Problema 20.
Sea \(ABC\) un triángulo acutángulo. Sea \(P\) un punto dentro del triángulo \(ABC\) tal que \(\angle APB = \angle BPC = \angle CPA\). Demuestra que las líneas \(AP\), \(BP\) y \(CP\) son bisectrices de los ángulos \(\angle BPC\), \(\angle CPA\) y \(\angle APB\), respectivamente.

"Caer está permitido. ¡Levantarse es obligatorio!"

~Proverbio Ruso