Problema del Día - Problema 19

En un avión con capacidad para 100 personas, el primer pasajero pierde su ubicación, y decide sentarse en cualquier asiento al azar. Según van subiendo los demás, si su asiento está libre lo ocupan, si está ocupado ocupan otro al azar. Cuando llega el pasajero número 100, ¿qué probabilidad tiene de encontrar su asiento vacío?

Enero 2012 - Lista 4 (Combinatoria, parte 2)

XXVI Olimpiada Mexicana de Matemáticas en Baja California

Entrenamiento Ensenada - 20 de enero de 2012

Segunda parte de los problemas de Beto en su entrenamiento de Combinatoria.

Problema 1.
Demostrar que
\[
\binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \binom{n}{2} + \ldots + \binom{n}{n} = 2^n.
\]

Problema 2.
¿Cuántas manos de poker tienen una tercia exactamente (es decir, no poker ni full)?

Problema 3.
Se construye la siguiente figura: se dibuja un cuadrado y sus diagonales; luego, sobre uno de sus lados se construye hacia afuera un triángulo equilátero; finalmente, se borra el lado que es común del triángulo y el cuadrado. ¿Es posible dibujar la figura resultante sin despegar el lápiz del papel ni pasar 2 veces por la misma línea?

Problema 4.
Demostrar que
\[
\binom{n}{0} + \binom{n}{2} + \ldots = \binom{n}{1} + \binom{n}{3} + \ldots
\]

Problema 5.
¿De cuantas formas pueden acomodarse 2009 estudiantes en Hogwart (considérese que este cuenta con 4 casas: Gryffindor, Slytherin Hufflepuff y Ravenclaw)?

Problema 6.
Un costal está lleno de ranas de chocolate con 20 cromos distintos. Al azar se van sacando ranas del costal. ¿Cuál es el mínimo número de ranas que deben sacarse para poder garantizar que en la colección tomada habrá al menos 100 cromos del mismo personaje?

Problema 7.
Encontrar el término que no contiene a \(x\) en el desarrollo de
\[
\left(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt[4]{x}}\right)^9.
\]

Problema 8.
¿Cuántas manos de poker tienen dos pares?

Problema 9.
¿De cuántas formas puede comprarse 20 lightsabers de una tienda que vende lightsabers de 5 colores?

Problema 10.
Probar que la expansión decimal de cualquier número racional es periódica.

Problema 11.
Un examen está formado por 10 preguntas que deben responderse como falso o verdadero. La clave del examen está diseñada de tal manera que si un estudiante responde al azar 5 falsos y 5 verdaderos seguro obtiene al menos 4 respuestas correctas. ¿Cuántas claves diferentes cumplen con esta afirmación?

Problema 12.
¿Cuántas manos de poker tienen una corrida?

Problema 13.
¿De cuantas formas pueden escogerse 2012 muffins de una pastelería que vende muffins de bluberry, plátano con nuez y chocolate?

"Caer está permitido. ¡Levantarse es obligatorio!"

~Proverbio Ruso

Enero 2012 - Lista 3 (Combinatoria, parte 1)

XXVI Olimpiada Mexicana de Matemáticas en Baja California

Entrenamiento Ensenada - 16 de enero de 2012

Estos son los problemas de Beto en su entrenamiento de Combinatoria.

Problema 1.
¿Puede acaso un caballo (pieza de ajedrez) que empieza en el recuadro A1 de un tablero de ajedrez y termina en el H8 visitar solamente una vez cada uno de los otros recuadros restantes?

Problema 2.
Se ordenan en una fila 5 bolas verdes, 2 amarillas y 3 anaranjadas. ¿De cuántas formas posibles pueden ordenarse?

Problema 3.
Dados 8 números naturales, ninguno mayor que 15, demuestre que al menos 3 pares de ellos tienen la misma diferencia positiva.

Problema 4.
3 libros distintos de matemáticas, 4 diferentes de física y 6 diferentes de química se colocan en un estante. ¿De cuántas formas distintas es posible ordenarlos si: a) los libros de cada materia deben estar todos juntos? b) solamente los libros de química deben estar juntos?

Problema 5.
Diez estudiantes resolvieron un total de 35 problemas en la OMM. Cada uno de los problemas fue resuelto por exactamente un estudiante. Hay al menos un estudiante que resolvió exactamente un problema, al menos un estudiante que resolvió exactamente dos problemas y al menos un estudiante que resolvió exactamente tres problemas. Demuestre que hay también al menos un estudiante que resolvió al menos cinco problemas.

Problema 6.
25 fichas han sido colocadas en un tablero de \(25 \times 25\) de tal manera que sus posiciones son simétricas respecto a una de las diagonales. Pruebe que al menos una de estas fichas esta posicionada sobre la diagonal.

Problema 7.
¿Cuántas palabras diferentes se pueden formar con las letras que contiene la palabra "matematicas"?

Problema 8.
¿Puede un tablero de \(5 \times 5\) ser cubierto por dominós?

Problema 9.
En un país de Tatooine hay nueve ciudades. Cada una de ellos con los nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Un viajero descubre que dos ciudades están conectadas por rutas aéreas si y solo si el numero de dos dígitos formado por escribir una ciudad y luego la otra, es divisible por 3. Puede el viajero llegar de la ciudad 1 a la 9?

Problema 10.
Dados 12 enteros, demostrar que dos de ellos pueden ser escogidos de tal manera que su diferencia es divisible por 11.

Problema 11.
Los números del 1 al 50 son escritos en una hoja. ¿Pueden los signos \(+\) y \(-\) ser colocados entre ellos de tal manera que el resultado de la expresión sea 0?

Problema 12.
En futbolandia hay \(M\) equipos de futbol, cada uno de los cuales tiene 11 jugadores. Todos los jugadores son reunidos en el aeropuerto para un viaje a otro país para un juego muy importante. Hay 10 vuelos a su destino, y resulta que cada vuelo tiene espacio para exactamente \(M\) pasajeros. Un jugador decide tomar su propio helicóptero al juego. Demuestre que al menos un equipo completo llegará a este juego.

Problema 13.
¿Cuántas banderas diferentes sin asta pueden formarse con los colores rojo, azul, verde, amarillo y blanco? ¿Y con asta?

Problema 14.
Ariel compró un cuaderno que contenía 96 hojas, las cuales numeró desde 1 hasta 192. Denisse arrancó 25 páginas de esta libreta y sumó los 50 números que se encontraban en las páginas. ¿Puede Denisse haber obtenido 1990 como suma?

Problema 15.
Muestra que en un grupo de 10 personas, hay dos que tienen un mismo número de amigos dentro de este grupo.

"Caer está permitido. ¡Levantarse es obligatorio!"

~Proverbio Ruso

Diciembre 2011 - Sesión Navideña 3

XXVI Olimpiada Mexicana de Matemáticas en Baja California

Entrenamiento Ensenada - 19 de diciembre de 2011

Problema 1.
¿Cuántos números enteros (positivos) de a lo más tres dígitos hay?

Problema 2.
¿Cuántas palabras de tres letras se pueden formar con un alfabeto de dos letras distintas?

Problema 3.
¿Cuántas placas distintas hay con dos letras a la izquierda y tres números (de un dígito) a la derecha?

Problema 4.
¿Cuántas banderas de dos colores se pueden elaborar si se tienen 4 lienzos de tela de colores distintos y un asta? ¿Y si no hubiera asta?

Problema 5.
¿De cuántas formas se pueden sentar 5 personas en 5 sillas numeradas del 1 al 5?

Problema 6.
De un grupo de 5 estudiantes quiere elegirse una comisión de 3 para que cada uno visite un museo de una lista de 3 museos. ¿Cuántas comisiones distintas se pueden formar?

Problema 7.
De un grupo de 5 estudiantes quiere elegirse una comisión de 3 para que juntos visiten un museo (el mismo todos). ¿Cuántas comisiones disferentes se pueden formar?

Problema 8.
Sea \(X = \{ a, b, c, d, e \}\). Escribe todos los subconjuntos de \(X\) con 0 elementos, 1 elemento, 2 elementos, etcétera, hasta los de 5 elementos.

Problema 9.
Explica porqué
\[
\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}.
\]
Problema 10.
De un grupo de 10 niños y 15 niñas se quiere formar un equipo de 5 jóvenes que tenga exactamente 2 niñas. ¿Cuántos equipos distintos se pueden formar?

Problema 11.
De un grupo de 10 niños y 15 niñas se quiere formar un equipo de 5 jóvenes que tenga a lo más 2 niñas. ¿Cuántos equipos distintos se pueden formar?

Problema 12.
Un grupo de 15 personas quiere dividirse en 3 equipos de 5 personas cada uno. Cada uno tendrá una labor específica distinta a las demás. ¿De cuántas formas distintas es posible hacer la distribución?

Problema 13.
Un grupo de 15 personas quiere dividirse en 3 equipos de 5 personas cada uno. Cada equipo tendrá la misma labor. ¿De cuántas formas distintas es posible hacer la distribución?

Problema 14.
En una bolsa hay 3 pelotas rojas y 2 azules. Se quiere formar una fila con todas ellas. ¿De cuántas maneras distintas puede quedar la fila?

Problema 15.
En una bolsa hay 3 pelotas rojas y 2 azules. ¿Cuántas filas distintas de 3 pelotas se pueden formar?

Problema 16.
¿De cuántas maneras pueden ordenarase en un estante 3 cuadernos rojos, 4 azules y 2 verdes, si los verdes no deben quedar juntos?

"Caer está permitido. ¡Levantarse es obligatorio!"

~Proverbio Ruso

Problema del Día - Problema 6

Ana y Beto están jugando a romper una barra de chocolate de \(6 \times 8\) cuadritos. En cada turno pueden romper através de las divisiones entre los cuadritos. Si siguen jugando hasta que ya no puedan romper más, el jugador que ya no pueda mover pierde. ¿Quién ganará?

Problema del Día - Problema 5

Se escriben en un pizarrón los números del 1 al 2011. Una operación consiste en reemplazar dos números con su diferencia positiva. Después de hacer esto hasta que sólo quede un número, ¿es posible que éste sea 0?

Problema del Día - Problema 4

¿De cuántas formas se puede colorear un tablero de \(3\times 3\), si cada cuadrito se debe de colorear con uno de los colores azul, blanco o café y además en cada columna y en cada renglón deben de estar los tres colores?