Examen de Práctica 1

26a Olimpiada Mexicana de Matemáticas en Baja California

OMM Ensenada - Examen de Práctica 1

Miércoles, 11 de enero del 2012

Problema 1.
En Letrolandia usan un alfabeto de 10 letras: A, B, C, D, E, O, P, Q, R, Z. Sólo se permite usar nombres de a lo más cinco letras de su alfabeto, y se puede utilizar cualquier combinación posible, por ejemplo hay una persona que se llama Zzq. Antes de que naciera Pedro 2, habían podido hacer que todos los nombres fueran diferentes. Pero por más esfuerzos que hicieron a Pedro 2 le tuvieron que poner el mismo nombre que a Pedro pero añadiéndole el 2. ¿Qué número de habitante es Pedro 2?

Problema 2.
¿Cuál es el último dígito de la suma
\[
(1^2 + 1) + (2^2 + 2) + \cdots + (2012^2 + 2012)?
\]

Problema 3.
Consideremos una cinta a lo largo del ecuador. Si se corta dicha cinta en un punto y se intercala un metro adicional de cinta, ¿a qué distancia se separará la cinta de la superficie?

Tiempo límite: 3 horas.

Tiempo para preguntas: 45 minutos.

Cada problema vale 4 puntos.

¡Mucho Éxito!

Diciembre 2011 - Sesión Navideña 2

XXVI Olimpiada Mexicana de Matemáticas en Baja California

Entrenamiento Ensenada - 14 de diciembre de 2011

Problema 1.
En un triángulo de área 1 sabemos que sus lados tienen longitud \(a\), \(b\), \(c\), y que \(a \geq b \geq c\). Demuestra que \(b \geq \sqrt{2}\).

Problema 2.
Se tienen dos urnas, cada una de las cuales contiene un número arbitrario de bolas (ninguna de las urnas está vacía). Se nos permite hacer dos tipos de operaciones: a) Remover un número igual de bolas simultáneamente de ambas urnas. b) Duplicar el número de bolas en alguna de las urnas. Demuestra que después de llevar a cabo estas operaciones un número finito de veces, ambas urnas pueden ser vaciadas.

Problema 3.
Encuentra todos los enteros positivos que puedan ser representados como suma y producto de una misma serie de más de un número entero. Ejemplo: \(10 = 5 \times 2 \times 1 \times 1 \times 1 = 5 + 2 + 1 + 1 + 1\).

Problema 4.
¿Cuánto mide el área de un cuadrado inscrito en una semicircunferencia de radio 1?

Problema 5.
¿Cuál es el último dígito de \(3^{2011}\)?

Problema 6.
Cada arista de un cubo es coloreada de rojo o negro. Cada cara del cubo tiene por lo menos una arista negra. Encuentra la menor cantidad de aristas negras que puede tener un cubo.

"Caer está permitido. ¡Levantarse es obligatorio!"

~Proverbio Ruso

Diciembre 2012 - Sesión Navideña 1

XXVI Olimpiada Mexicana de Matemáticas en Baja California

Entrenamiento Ensenada - 12 de diciembre de 2011

Problema 1.

Encuentra un número de 5 dígitos que cumpla: todos los dígitos del número son pares y diferentes; el número formado por los últimos 2 dígitos es el triple del 1ro; el 2do dígito es la cuarta parte del número formado por los 2 últimos dígitos; el 3er dígito es el menor de todos y el penúltimo dígito es la mitad del último.

Problema 2.

Un explorador cayó en manos de una tribu de indígenas y se le propuso la elección entre morir en la hoguera o envenenado. Para ello, el condenado debía pronunciar una frase tal que, si era cierta, moriría envenenado, y si era falsa, moriría en la hoguera. ¿Cómo escapó el condenado a morir?

Problema 3.

(a) Una escalera tiene 100 escalones. Una paloma se posa en el primer escalón, dos palomas en el segundo, tres en el tercero y así sucesivamente. ¿Cuántas palomas hay en total? (b) Un temblor provocó que las palomas hicieran lo siguiente: si estaban en un escalón impar, de ese escalón voló exactamente una paloma; si estaban en un escalón par, de ese escalón voló exactamente la mitad. ¿Cuántas palomas quedaron en total?

Problema 4.

¿Cuántos números enteros hay entre 1 y 1,000 tales que la suma de sus dígitos es igual a 7?

Problema 5.

Se tiene un triángulo \(ABC\) de área \(60m^2\). Sobre el lado \(BC\) se marca un punto \(D\), tal que la medida de \(DC\) es la tercera parte de la medida de \(BC\). ¿Cuál es el área del triángulo \(ADC\)?

Problema 6.

¿Cuál es el menor múltiplo (positivo) de 60 que es un cuadrado perfecto?

Problema 7.

Si \(A\) es la suma de todos los múltiplos de 4 mayores que 0 y menores o iguales que 2012, y si \(B\) es la suma de todos los enteros que dejan residuo 2 al dividirlos por 4 mayores que 0 y menores o iguales a 2010, ¿cuánto vale \(A - B\)?

Problema 8.

Un jeque poseía 140 camellos. Su mujer estaba embarazada y el jeque dejó por escrito que si tenía un varón, éste recibiría de herencia el doble que la madre, si era mujer, la madre recibiría el doble que la hija. Falleció el jeque y nacieron una mujer y un hombre. ¿Cómo se repartieron los 140 camellos entre los tres?

Problema 9.

La suma de 2011 enteros consecutivos es 14,077. ¿Cuánto vale el más pequeño de ellos?

Problema 10.

¿De cuántas maneras puedes colocar un cubo de \(2010 \times 2010 \times 2010\), dentro de un cubo de \(2012 \times 2012 \times 2012\) de manera que los cubitos del primer cubo coincidan con los cubitos del segundo?

Problema 11.

Tienes muchos palitos de \(6cm\) y \(7cm\) de longitud. ¿Cuál es el menor número de palitos que necesitas para construir una fila de exactamente \(2m\) de longitud?

Problema 12.

Se tiene una telaraña que consta de la orilla de un cuadrado de \(1m\) de lado, y además de las prolongaciones (cada una de \(0.5m\) de longitud) de cada lado del cuadrado por ambos lados. Dos arañas pueden convivir si la distancia entre ellas es mayor a \(1m\). ¿Cuál es el número máximo de arañas que pueden convivir sobre la telaraña?

Problema 13.

Se tiene un cuadrado de lado \(2cm\), y un círculo inscrito dentro del cuadrado. Dentro del círculo, hay un cuadrado más pequeño inscrito. Encuentra el área del cuadrado pequeño.

"Caer está permitido. ¡Levantarse es obligatorio!"

~Proverbio Ruso