Diciembre 2011 - Sesión Navideña 2

XXVI Olimpiada Mexicana de Matemáticas en Baja California

Entrenamiento Ensenada - 14 de diciembre de 2011

Problema 1.
En un triángulo de área 1 sabemos que sus lados tienen longitud \(a\), \(b\), \(c\), y que \(a \geq b \geq c\). Demuestra que \(b \geq \sqrt{2}\).

Problema 2.
Se tienen dos urnas, cada una de las cuales contiene un número arbitrario de bolas (ninguna de las urnas está vacía). Se nos permite hacer dos tipos de operaciones: a) Remover un número igual de bolas simultáneamente de ambas urnas. b) Duplicar el número de bolas en alguna de las urnas. Demuestra que después de llevar a cabo estas operaciones un número finito de veces, ambas urnas pueden ser vaciadas.

Problema 3.
Encuentra todos los enteros positivos que puedan ser representados como suma y producto de una misma serie de más de un número entero. Ejemplo: \(10 = 5 \times 2 \times 1 \times 1 \times 1 = 5 + 2 + 1 + 1 + 1\).

Problema 4.
¿Cuánto mide el área de un cuadrado inscrito en una semicircunferencia de radio 1?

Problema 5.
¿Cuál es el último dígito de \(3^{2011}\)?

Problema 6.
Cada arista de un cubo es coloreada de rojo o negro. Cada cara del cubo tiene por lo menos una arista negra. Encuentra la menor cantidad de aristas negras que puede tener un cubo.

"Caer está permitido. ¡Levantarse es obligatorio!"

~Proverbio Ruso