Problema del Día - Problema Extra 12

Dos círculos \(C_1\) y \(C_2\) tienen una cuerda común \(AB\). Se elige un punto \(P\) en \(C_1\) de manera
que quede afuera de \(C_2\) y, sean \(X\) y \(Y\) la intersección de \(PA\) y \(PB\) con \(C_2\), respectivamente. Si \(AB = 4\), \(PA = 5\), \(PB = 7\) y \(AX = 16\), ¿cuál es la longitud de \(XY\)?

Problema del Día - Problema Extra 11

Nueve esferas de radio 1 se colocan dentro de una caja cúbica de manera que el centro de una de ellas coincida con el centro del cubo, y cada una de las otras sea tangente a la esfera del centro y a tres de las caras del cubo. ¿Cuál es la medida del lado del cubo?

Problema del Día - Problema Extra 9

En el triángulo \(ABC\), sean \(D\) y \(E\) puntos en los lados \(AB\) y \(AC\), respectivamente. Si el \(\angle ABC = \angle AED\), \(AD = 3\), \(AE = 2\) y \(DB = 2\), halla a \(EC\).

Problema del Día - Problema Extra 8

En el pizarrón se tienen escritos once números 1. Una posible operación es tomar dos números y sumarle a ambos 1, restarle a ambos 1 o sumarle a uno de los números 1 y restarle 1 al otro. ¿Es posible mediante estas operaciones tener escritos en el pizarrón once números 10?

Problema del Día - Problema Extra 10

Sea \(ABCD\) un cuadrado de centro \(O\). Sobre los lados \(DC\) y \(AD\) se han contruído los triángulos equiláteros \(EDC\) y \(FAD\). ¿Qué área es mayor, la del triángulo \(FDE\) o la del triángulo \(DOC\)?

Problema del Día - Problema Extra 7

Demuestre que de la igualdad \(a^2 +b^2+c^2=ab+ac+bc\) donde \(a\), \(b\) y \(c\) son números reales, se deduce que \(a=b=c\).

Problema del Día - Problema Extra 6

Encontrar todos los enteros positivos \(x\) tales que \(x^2 = 3^{x-11}+144\).

Problema del Día - Problema Extra 5

Encontrar todas las parejas de enteros positivos \((n,p)\) tales que \(p\) es primo y \(p^n-9n = n^p\).

Problema del Día - Problema Extra 4

La lista \(\{x_1, x_2,\ldots ,x_n\}\) donde \(x_1 = 1\) y \(x_n = 1000\); es la sucesión más larga de enteros positivos tal que cada término a partir del tercero es la suma de todos los anteriores (por ejemplo \(x_4 = x_1 + x_2 + x_3\)). ¿Cuánto vale \(x_2\)?

Problema del Día - Problema Extra 3

Mostrar que:
\[
\binom{p-1}{k} \equiv (-1)^k \pmod{p}.
\]

Problema del Día - Problema Extra 2

Demostrar que para cualquier entero positivo \(n\) el número \( (n^3 - n)(5^{8n+4}+3^{4n+2}) \) es divisible entre 3804.

Problema del Día - Problema Extra 1

Encontrar todas las soluciones enteras positivas de
\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2012}.
\]