Enero 2012 - Lista 2 (Teoría de Números, parte 2)

XXVI Olimpiada Mexicana de Matemáticas en Baja California

Entrenamiento Ensenada - 13 de enero de 2012

Esta es la segunda parte del entrenamiento de Denisse.

Problema 1.
Encuentra todos los números de la forma \(\overline{aba}\), que sean divisibles entre 11.

Problema 2.
Si el número primo \(p\) se escribe como \(p = p_1^2 + p_2^2 + p_3^2\), con \(p_1 < p_2 < p_3\), y con todos ellos primos, entonces demuestra que \(p_1 = 3\).

Problema 3.
Sean \(p\), \(q\) y \(r\) tres números primos distintos. Sea \(n = pqr^2\). ¿Cuántos divisores positivos tiene \(n\)?

Problema 4.
¿Cuál es el último dígito de \(3^{2005}\)?

Problema 5.
Un entero positivo \(n\) tiene exactamente 2 divisores positivos, mientras que el número \(n+1\) tiene exactamente 3 divisores positivos. ¿Cuántos divisores positivos tiene el número \(n+2\)?

Problema 6.
Sea \(n\) un número con 100 1's, 100 2's y 100 0's. ¿Puede \(n\) ser un cuadrado perfecto?

Problema 7.
Demuestra que \(p^2-1\) es divisible por 24, si \(p>3\) es un primo.

Problema 8.
Demuestra que \(p^2 - q^2\) es divisible por 24, si \(p\) y \(q\) son primos mayores a 3.

Problema 9.
Demuestra que \(n^5 + 4n\) es divisible por 5 para todo \(n\) natural.

Problema 10.
Demuestra que \(n^2+1\) no es divisible por 3 para ninguna \(n\).

Problema 11.
Encuentra todas las soluciones enteras a la ecuación \(x^3 + x^2 + x - 3 = 0\).

Problema 12.
Si \(3 | a+1\), entonces demuestra que \(3 | 7a + 4\).

Problema 13.
Encontrar todos los enteros positivos \(n\) tales que \(n^{20} + n^{10} + 1\) es un primo.

Problema 14.
Encuentra el menor \(n\) tal que \(n!\) es divisible por 990.

Problema 15.
Los números \(a\) y \(b\) satisfacen la ecuación \(56a=65b\). Demuestra que \(a+b\) es un número compuesto.

Problema 16.
¿Existe algún entero positivo \(n\) tal que \(n!\) tenga exactamente 11 ceros al final de su representación decimal?

Problema 17.
Una compañía de \(n\) soldados es tal que:

• \(n\) es un número capicúa,
• si los soldados se forman:

• de 3 en 3, quedan 2 soldados en la última fila;
• de 4 en 4, quedan 3 soldados en la última fila;
• de 5 en 5, quedan 4 soldados en la última fila.

Encontrar el menor \(n\) que cumple las condiciones.

Problema 18.
Sean \(a\), \(b\) y \(c\) dígitos que cumplen con las siguientes condiciones:

• 3 divide al número \(\overline{abc} + a$;
• 2 divide al número \(\overline{cba}$;
• 5 divide al número \(\overline{bac}\).

Demuestra que 2010 divide a
\[
(94 a^2 c + 47abc + 47ac^2)^{2011} + (40a^2c + 10abc + 20ac^2)^{2011}.
\]

"Caer está permitido. ¡Levantarse es obligatorio!"

~Proverbio Ruso

Enero 2012 - Lista 1 (Teoría de Números, parte 1)

XXVI Olimpiada Mexicana de Matemáticas en Baja California

Entrenamiento Ensenada - 9 de enero de 2012

 

Escrito por: Denisse

Introducción

En este trabajo se darán a conocer algunas herramientas de un área de las matemáticas llamada teoría de números, que en pocas palabras estudia propiedades de los números enteros. Son tres los temas principales que se tocarán a continuación:

• Teorema Fundamental de la Aritmética,
• Máximo Común Divisor, y
• Mínimo Común Múltiplo.

Y bien, ¡adentrémonos en el mundo de los enteros!

Teorema Fundamental de la Aritmética

El teorema fundamental de la aritmética nos dice que existe una única factorización en números primos de cada número entero natural no nulo y distinto de uno e, inversamente, cada producto de factores primos tiene como resultado un único número natural no nulo y distinto de uno.

Problemas

Problema 1.

¿Es cierto que 2 divide a \(29 \cdot 7\)?

Problema 2.

¿Es cierto que 5 divide a \(34 \cdot 25\)?

Problema 3.

¿Es cierto que 8 divide a \(22 \cdot 32 \cdot 7 \cdot 11\)?

Problema 4.

¿Es cierto que 9 divide a \(3 \cdot 47\)?

Problema 5.

¿Es cierto que 6 divide a \(25 \cdot 3 \cdot 23\)?

Problema 6.

¿Es cierto que un número divisible por 3 y por 4 es divisible por 12?

Problema 7.

¿Es cierto que un número divisible por 6 y por 4 es divisible por 24?

Problema 8.

Sea \(n\) un número par. ¿Es \(3n\) divisible por 6?

Problema 9.

Sea \(5n\) un número divisible por 3. ¿Es \(n\) divisible por 3?

Problema 10.

Sea \(n\) un número divisible por 4. ¿Es \(3n\) divisible por 8?

Máximo Común Divisor

El Máximo Común Divisor de dos números naturales es el entero positivo más grande que los divide a ambos. Dados dos números \(a\) y \(b\), el máximo común divisor se denota como MCD\((a,b)\) ó simplemente \((a,b)\).

Problemas

Problema 1.

Calcula el MCD de las siguientes parejas de números:

1. \(a = 25 \cdot 3 \cdot 23\), \(b = 27 \cdot 3 \cdot 47\).
2. \(a = 7 \cdot 11\), \(b = 25 \cdot 3\).
3. \(a = 3 \cdot 5\), \(b = 28 \cdot 3 \cdot 11\).

Mínimo Común Múltiplo

El Mínimo Común Múltiplo de dos números naturales es el entero positivo más chico tal que es múltiplo de ambos. Dados dos números \(a\) y \(b\), el mínimo común múltiplo se denota como mcm\([a,b]\) ó simplemente \([a,b]\).

Problemas

Problema 1.

Calcula el mcm de las siguientes parejas de números:

1. \(a = 25 \cdot 3 \cdot 23\), \(b = 27 \cdot 3 \cdot 47\).
2. \(a =7 \cdot 11\), \(b = 25 \cdot 3\).
3. \(a = 3 \cdot 5\), \(b = 28 \cdot 3 \cdot 11\).

Lista de Problemas

A continuación, una pequeña pero importante lista de problemas que están estrechamente relacionados con los temas que se han visto en este trabajo.

Problema 1.

Demuestra que si \(b|a\) y \(c|b\), entonces \(c|a\).

Problema 2.

Demuestra que si \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\), entonces \(\frac{a+c}{b+d} = \frac{a}{b} = \frac{c}{d}\).

Problema 3.

Encuentra todos los valores enteros positivos \(n\) para los cuales \(n^2-3n+2\) es un número primo.

Problema 4.

Un cierto número entero \(n\) al ser multiplicado por 5880 es un cubo perfecto, encontrarlo.

Problema 5.

Encuentra todas las soluciones enteras a las siguientes ecuaciones: a) \(x^2-y^2 = 31\), b) \(x^2-y^2 = 303\).

Problema 6.

Demuestra que el producto de 3 enteros consecutivos es divisible por 6.

Problema 7.

Demuestra que el producto de 4 enteros consecutivos es divisible por 24.

Problema 8.

Demuestra que el producto de 5 enteros consecutivos es divisible por 120.

Problema 9.

Demuestra que existen 1000 números consecutivos tales que ninguno de ellos es primo.

Problema 10.

Exactamente una de las siguientes afirmaciones acerca del número de mi casa es falso:

• La suma de las cifras del número es 6.
• Dos de las cifras del número son iguales.
• El número es menor que 110.
• El número es mayor que 40.
• El número es primo.

¿Cuál es el número de mi casa?

Problema 11.

Demuestra que existe una cantidad infinita de números primos. TIP: Supón que existe una cantidad finita de números primos.

Problema 12.

Si \(3|x^2+y^2\), demuestra que \(x\), \(y\) son múltiplos de 3.

Problema 13.

Demuestra que \((a, b) \cdot [a, b] = a \cdot b\), siendo \(a\), \(b\) números enteros.

"Caer está permitido. ¡Levantarse es obligatorio!"

~Proverbio Ruso

Problema del Día - Problema 13

Encuentra todas las parejas de enteros positivos \((a,b)\) tales que \(a^4 + 1\) y \(b^2 + 1\) no son divisibles por 39 pero \((a^4 + 1)(b^2 + 1)\) sí lo es.

Problema del Día - Problema Extra 6

Encontrar todos los enteros positivos \(x\) tales que \(x^2 = 3^{x-11}+144\).

Problema del Día - Problema 12

La suma de 18 enteros consecutivos positivos es un cuadrado perfecto. Encontrar el mínimo valor que puede tener esa suma.

Diciembre 2011 - Sesión Navideña 4

XXVI Olimpiada Mexicana de Matemáticas en Baja California

Entrenamiento Ensenada - 21 de diciembre de 2011

Problema 1.
Una pista de carreras es recorrida por Pepe, que va corriendo, en 60 segundos; Bart, que va en patineta, la recorre en 45 segundos; y finalmente Carlos, que va en bicicleta, la recorre en 25 segundos. Si ellos salen el mismo tiempo, ¿cuánto tiempo tiene que pasar para que vuelvan a coincidir por primera vez? ¿Y si solo queremos que coincidan Pepe y Carlos?

Problema 2.
Diderot necesita colocar 250 focos de 100 watts y 75 focos de 60 watts en cajas, de forma que en cada caja se ponga la mayor cantidad posible de focos. No puede mezclar ambos tipos de focos en una misma caja, además en cada caja debe ir la misma cantidad de focos. ¿Cuántos focos deben ir en cada caja? ¿Cuántas cajas necesita Diderot?

Problema 3.
Enrique tiene una bolsa con menos de 200 canicas. Si Enrique las agrupa de 9 en 9 no sobra ninguna, y si las agrupa de 11 en 11 sobra 1. ¿Cuál es la menor cantidad de canicas que puede haber? ¿Y la mayor?

Problema 4.
En una serie de focos navideña hay foquitos verdes, blancos y rojos. Los verdes se encienden cada 15 segundos, los blancos cada 18 segundos y los rojos cada 110 segundos. Si al encenderse se encienden juntos, ¿cada cuántos segundos se encienden juntos otra vez? ¿Cuántas veces se encienden juntos durante una hora?

Problema 5.
Un trozo de cartulina mide \(100\)cm \(\times\) \(45\)cm y se quiere dibujar una cuadrícula de mayor tamaño posible de forma que todos sean cuadrados. ¿Cuál será el lado del mayor cuadrado posible?

Problema 6.
Se escribe con lápiz azul la lista de los múltiplos de 9, empezando con 9. Al lado de cada número azul se escribe con lápiz rojo la suma de sus dígitos. ¿Qué aparece antes en la lista roja, el número 45 o una secuencia de por lo menos cinco números 36?

Problema 7.
¿Por cuáles dígitos deben reemplazarse \(a\) y \(b\) para que \(65a1b\) sea un múltiplo de \(12\)?

Problema 8.
Con los dígitos del 1 al 6, encuentra un número de 6 dígitos distintos \(\overline{abcdef}\), tal que \(\overline{abc}\) sea múltiplo de 4, \(\overline{bcd}\) sea múltiplo de 5, \(\overline{cde}\) sea múltiplo de 3 y \(\overline{def}\) sea múltiplo de 11. ¿Podrías encontrar todos?

Problema 9.
Encuentra todos los enteros positivos \(n\) tales que \(n+1\) divida a \(n^2 + 1\).

Problema 10.
Demuestra que si 7 divide a \(3x + 2\) entonces 7 divide a \(15x^2 - 11x - 14\).

Problema 11.
Demuestra que: (a) \(n^3 - n\) es divisible por 3, (b) \(n^2 + n\) es disivible por 2, (c) \(n^5 - 5 n^3 + 4n\) es disivible por 5.

Problema 12.
Demuestra que el producto de \(n\) enteros (positivos) consecutivos es divisible por \(n!\).

Problema 13.
\(N\) es un número cuadrado perfecto de cuatro dígitos cada uno de ellos menores que 7. Aumentando cada dígito en tres unidades se obtiene otro cuadrado perfecto. Determina \(N\).

Problema 14.
Todos los números de dos dígitos desde 19 hasta 80 son escritos en una sola fila. El resultado es leído como el número \(1920212223 \ldots 77787980\). Prueba que dicho número es divisible por 1980.

Problema 15.
Determina todas las soluciones enteras de la ecuación \(x^4 = y^2 + 71\).

"Caer está permitido. ¡Levantarse es obligatorio!"

~Proverbio Ruso

Problema del Día - Problema 11

Demuestra que el producto de tres enteros positivos consecutivos no puede ser un cubo perfecto.

Problema del Día - Problema Extra 5

Encontrar todas las parejas de enteros positivos \((n,p)\) tales que \(p\) es primo y \(p^n-9n = n^p\).

Problema del Día - Problema Extra 3

Mostrar que:
\[
\binom{p-1}{k} \equiv (-1)^k \pmod{p}.
\]

Problema del Día - Problema Extra 2

Demostrar que para cualquier entero positivo \(n\) el número \( (n^3 - n)(5^{8n+4}+3^{4n+2}) \) es divisible entre 3804.

Problema del Día - Problema Extra 1

Encontrar todas las soluciones enteras positivas de
\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2012}.
\]

Problema del Día - Problema 3

Si al dividir el número \(823402709640276a7\) entre 8 el residuo es 5, ¿cuáles son los posibles valores del dígito \(a\)?

Problema del Día - Problema 2

La suma de cinco enteros positivos consecutivos es un cubo perfecto y la suma de los tres números de en medio es un cuadrado perfecto ¿Cuál es el valor mínimo del número de en medio?