Enero 2012 - Lista 1 (Teoría de Números, parte 1)

XXVI Olimpiada Mexicana de Matemáticas en Baja California

Entrenamiento Ensenada - 9 de enero de 2012

 

Escrito por: Denisse

Introducción

En este trabajo se darán a conocer algunas herramientas de un área de las matemáticas llamada teoría de números, que en pocas palabras estudia propiedades de los números enteros. Son tres los temas principales que se tocarán a continuación:

• Teorema Fundamental de la Aritmética,
• Máximo Común Divisor, y
• Mínimo Común Múltiplo.

Y bien, ¡adentrémonos en el mundo de los enteros!

Teorema Fundamental de la Aritmética

El teorema fundamental de la aritmética nos dice que existe una única factorización en números primos de cada número entero natural no nulo y distinto de uno e, inversamente, cada producto de factores primos tiene como resultado un único número natural no nulo y distinto de uno.

Problemas

Problema 1.

¿Es cierto que 2 divide a \(29 \cdot 7\)?

Problema 2.

¿Es cierto que 5 divide a \(34 \cdot 25\)?

Problema 3.

¿Es cierto que 8 divide a \(22 \cdot 32 \cdot 7 \cdot 11\)?

Problema 4.

¿Es cierto que 9 divide a \(3 \cdot 47\)?

Problema 5.

¿Es cierto que 6 divide a \(25 \cdot 3 \cdot 23\)?

Problema 6.

¿Es cierto que un número divisible por 3 y por 4 es divisible por 12?

Problema 7.

¿Es cierto que un número divisible por 6 y por 4 es divisible por 24?

Problema 8.

Sea \(n\) un número par. ¿Es \(3n\) divisible por 6?

Problema 9.

Sea \(5n\) un número divisible por 3. ¿Es \(n\) divisible por 3?

Problema 10.

Sea \(n\) un número divisible por 4. ¿Es \(3n\) divisible por 8?

Máximo Común Divisor

El Máximo Común Divisor de dos números naturales es el entero positivo más grande que los divide a ambos. Dados dos números \(a\) y \(b\), el máximo común divisor se denota como MCD\((a,b)\) ó simplemente \((a,b)\).

Problemas

Problema 1.

Calcula el MCD de las siguientes parejas de números:

1. \(a = 25 \cdot 3 \cdot 23\), \(b = 27 \cdot 3 \cdot 47\).
2. \(a = 7 \cdot 11\), \(b = 25 \cdot 3\).
3. \(a = 3 \cdot 5\), \(b = 28 \cdot 3 \cdot 11\).

Mínimo Común Múltiplo

El Mínimo Común Múltiplo de dos números naturales es el entero positivo más chico tal que es múltiplo de ambos. Dados dos números \(a\) y \(b\), el mínimo común múltiplo se denota como mcm\([a,b]\) ó simplemente \([a,b]\).

Problemas

Problema 1.

Calcula el mcm de las siguientes parejas de números:

1. \(a = 25 \cdot 3 \cdot 23\), \(b = 27 \cdot 3 \cdot 47\).
2. \(a =7 \cdot 11\), \(b = 25 \cdot 3\).
3. \(a = 3 \cdot 5\), \(b = 28 \cdot 3 \cdot 11\).

Lista de Problemas

A continuación, una pequeña pero importante lista de problemas que están estrechamente relacionados con los temas que se han visto en este trabajo.

Problema 1.

Demuestra que si \(b|a\) y \(c|b\), entonces \(c|a\).

Problema 2.

Demuestra que si \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\), entonces \(\frac{a+c}{b+d} = \frac{a}{b} = \frac{c}{d}\).

Problema 3.

Encuentra todos los valores enteros positivos \(n\) para los cuales \(n^2-3n+2\) es un número primo.

Problema 4.

Un cierto número entero \(n\) al ser multiplicado por 5880 es un cubo perfecto, encontrarlo.

Problema 5.

Encuentra todas las soluciones enteras a las siguientes ecuaciones: a) \(x^2-y^2 = 31\), b) \(x^2-y^2 = 303\).

Problema 6.

Demuestra que el producto de 3 enteros consecutivos es divisible por 6.

Problema 7.

Demuestra que el producto de 4 enteros consecutivos es divisible por 24.

Problema 8.

Demuestra que el producto de 5 enteros consecutivos es divisible por 120.

Problema 9.

Demuestra que existen 1000 números consecutivos tales que ninguno de ellos es primo.

Problema 10.

Exactamente una de las siguientes afirmaciones acerca del número de mi casa es falso:

• La suma de las cifras del número es 6.
• Dos de las cifras del número son iguales.
• El número es menor que 110.
• El número es mayor que 40.
• El número es primo.

¿Cuál es el número de mi casa?

Problema 11.

Demuestra que existe una cantidad infinita de números primos. TIP: Supón que existe una cantidad finita de números primos.

Problema 12.

Si \(3|x^2+y^2\), demuestra que \(x\), \(y\) son múltiplos de 3.

Problema 13.

Demuestra que \((a, b) \cdot [a, b] = a \cdot b\), siendo \(a\), \(b\) números enteros.

"Caer está permitido. ¡Levantarse es obligatorio!"

~Proverbio Ruso