Enero 2012 - Lista 2 (Teoría de Números, parte 2)

XXVI Olimpiada Mexicana de Matemáticas en Baja California

Entrenamiento Ensenada - 13 de enero de 2012

Esta es la segunda parte del entrenamiento de Denisse.

Problema 1.
Encuentra todos los números de la forma \(\overline{aba}\), que sean divisibles entre 11.

Problema 2.
Si el número primo \(p\) se escribe como \(p = p_1^2 + p_2^2 + p_3^2\), con \(p_1 < p_2 < p_3\), y con todos ellos primos, entonces demuestra que \(p_1 = 3\).

Problema 3.
Sean \(p\), \(q\) y \(r\) tres números primos distintos. Sea \(n = pqr^2\). ¿Cuántos divisores positivos tiene \(n\)?

Problema 4.
¿Cuál es el último dígito de \(3^{2005}\)?

Problema 5.
Un entero positivo \(n\) tiene exactamente 2 divisores positivos, mientras que el número \(n+1\) tiene exactamente 3 divisores positivos. ¿Cuántos divisores positivos tiene el número \(n+2\)?

Problema 6.
Sea \(n\) un número con 100 1's, 100 2's y 100 0's. ¿Puede \(n\) ser un cuadrado perfecto?

Problema 7.
Demuestra que \(p^2-1\) es divisible por 24, si \(p>3\) es un primo.

Problema 8.
Demuestra que \(p^2 - q^2\) es divisible por 24, si \(p\) y \(q\) son primos mayores a 3.

Problema 9.
Demuestra que \(n^5 + 4n\) es divisible por 5 para todo \(n\) natural.

Problema 10.
Demuestra que \(n^2+1\) no es divisible por 3 para ninguna \(n\).

Problema 11.
Encuentra todas las soluciones enteras a la ecuación \(x^3 + x^2 + x - 3 = 0\).

Problema 12.
Si \(3 | a+1\), entonces demuestra que \(3 | 7a + 4\).

Problema 13.
Encontrar todos los enteros positivos \(n\) tales que \(n^{20} + n^{10} + 1\) es un primo.

Problema 14.
Encuentra el menor \(n\) tal que \(n!\) es divisible por 990.

Problema 15.
Los números \(a\) y \(b\) satisfacen la ecuación \(56a=65b\). Demuestra que \(a+b\) es un número compuesto.

Problema 16.
¿Existe algún entero positivo \(n\) tal que \(n!\) tenga exactamente 11 ceros al final de su representación decimal?

Problema 17.
Una compañía de \(n\) soldados es tal que:

• \(n\) es un número capicúa,
• si los soldados se forman:

• de 3 en 3, quedan 2 soldados en la última fila;
• de 4 en 4, quedan 3 soldados en la última fila;
• de 5 en 5, quedan 4 soldados en la última fila.

Encontrar el menor \(n\) que cumple las condiciones.

Problema 18.
Sean \(a\), \(b\) y \(c\) dígitos que cumplen con las siguientes condiciones:

• 3 divide al número \(\overline{abc} + a$;
• 2 divide al número \(\overline{cba}$;
• 5 divide al número \(\overline{bac}\).

Demuestra que 2010 divide a
\[
(94 a^2 c + 47abc + 47ac^2)^{2011} + (40a^2c + 10abc + 20ac^2)^{2011}.
\]

"Caer está permitido. ¡Levantarse es obligatorio!"

~Proverbio Ruso