Enero 2012 - Lista 3 (Combinatoria, parte 1)

XXVI Olimpiada Mexicana de Matemáticas en Baja California

Entrenamiento Ensenada - 16 de enero de 2012

Estos son los problemas de Beto en su entrenamiento de Combinatoria.

Problema 1.
¿Puede acaso un caballo (pieza de ajedrez) que empieza en el recuadro A1 de un tablero de ajedrez y termina en el H8 visitar solamente una vez cada uno de los otros recuadros restantes?

Problema 2.
Se ordenan en una fila 5 bolas verdes, 2 amarillas y 3 anaranjadas. ¿De cuántas formas posibles pueden ordenarse?

Problema 3.
Dados 8 números naturales, ninguno mayor que 15, demuestre que al menos 3 pares de ellos tienen la misma diferencia positiva.

Problema 4.
3 libros distintos de matemáticas, 4 diferentes de física y 6 diferentes de química se colocan en un estante. ¿De cuántas formas distintas es posible ordenarlos si: a) los libros de cada materia deben estar todos juntos? b) solamente los libros de química deben estar juntos?

Problema 5.
Diez estudiantes resolvieron un total de 35 problemas en la OMM. Cada uno de los problemas fue resuelto por exactamente un estudiante. Hay al menos un estudiante que resolvió exactamente un problema, al menos un estudiante que resolvió exactamente dos problemas y al menos un estudiante que resolvió exactamente tres problemas. Demuestre que hay también al menos un estudiante que resolvió al menos cinco problemas.

Problema 6.
25 fichas han sido colocadas en un tablero de \(25 \times 25\) de tal manera que sus posiciones son simétricas respecto a una de las diagonales. Pruebe que al menos una de estas fichas esta posicionada sobre la diagonal.

Problema 7.
¿Cuántas palabras diferentes se pueden formar con las letras que contiene la palabra "matematicas"?

Problema 8.
¿Puede un tablero de \(5 \times 5\) ser cubierto por dominós?

Problema 9.
En un país de Tatooine hay nueve ciudades. Cada una de ellos con los nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Un viajero descubre que dos ciudades están conectadas por rutas aéreas si y solo si el numero de dos dígitos formado por escribir una ciudad y luego la otra, es divisible por 3. Puede el viajero llegar de la ciudad 1 a la 9?

Problema 10.
Dados 12 enteros, demostrar que dos de ellos pueden ser escogidos de tal manera que su diferencia es divisible por 11.

Problema 11.
Los números del 1 al 50 son escritos en una hoja. ¿Pueden los signos \(+\) y \(-\) ser colocados entre ellos de tal manera que el resultado de la expresión sea 0?

Problema 12.
En futbolandia hay \(M\) equipos de futbol, cada uno de los cuales tiene 11 jugadores. Todos los jugadores son reunidos en el aeropuerto para un viaje a otro país para un juego muy importante. Hay 10 vuelos a su destino, y resulta que cada vuelo tiene espacio para exactamente \(M\) pasajeros. Un jugador decide tomar su propio helicóptero al juego. Demuestre que al menos un equipo completo llegará a este juego.

Problema 13.
¿Cuántas banderas diferentes sin asta pueden formarse con los colores rojo, azul, verde, amarillo y blanco? ¿Y con asta?

Problema 14.
Ariel compró un cuaderno que contenía 96 hojas, las cuales numeró desde 1 hasta 192. Denisse arrancó 25 páginas de esta libreta y sumó los 50 números que se encontraban en las páginas. ¿Puede Denisse haber obtenido 1990 como suma?

Problema 15.
Muestra que en un grupo de 10 personas, hay dos que tienen un mismo número de amigos dentro de este grupo.

"Caer está permitido. ¡Levantarse es obligatorio!"

~Proverbio Ruso