Enero 2012 - Lista 4 (Combinatoria, parte 2)

XXVI Olimpiada Mexicana de Matemáticas en Baja California

Entrenamiento Ensenada - 20 de enero de 2012

Segunda parte de los problemas de Beto en su entrenamiento de Combinatoria.

Problema 1.
Demostrar que
\[
\binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \binom{n}{2} + \ldots + \binom{n}{n} = 2^n.
\]

Problema 2.
¿Cuántas manos de poker tienen una tercia exactamente (es decir, no poker ni full)?

Problema 3.
Se construye la siguiente figura: se dibuja un cuadrado y sus diagonales; luego, sobre uno de sus lados se construye hacia afuera un triángulo equilátero; finalmente, se borra el lado que es común del triángulo y el cuadrado. ¿Es posible dibujar la figura resultante sin despegar el lápiz del papel ni pasar 2 veces por la misma línea?

Problema 4.
Demostrar que
\[
\binom{n}{0} + \binom{n}{2} + \ldots = \binom{n}{1} + \binom{n}{3} + \ldots
\]

Problema 5.
¿De cuantas formas pueden acomodarse 2009 estudiantes en Hogwart (considérese que este cuenta con 4 casas: Gryffindor, Slytherin Hufflepuff y Ravenclaw)?

Problema 6.
Un costal está lleno de ranas de chocolate con 20 cromos distintos. Al azar se van sacando ranas del costal. ¿Cuál es el mínimo número de ranas que deben sacarse para poder garantizar que en la colección tomada habrá al menos 100 cromos del mismo personaje?

Problema 7.
Encontrar el término que no contiene a \(x\) en el desarrollo de
\[
\left(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt[4]{x}}\right)^9.
\]

Problema 8.
¿Cuántas manos de poker tienen dos pares?

Problema 9.
¿De cuántas formas puede comprarse 20 lightsabers de una tienda que vende lightsabers de 5 colores?

Problema 10.
Probar que la expansión decimal de cualquier número racional es periódica.

Problema 11.
Un examen está formado por 10 preguntas que deben responderse como falso o verdadero. La clave del examen está diseñada de tal manera que si un estudiante responde al azar 5 falsos y 5 verdaderos seguro obtiene al menos 4 respuestas correctas. ¿Cuántas claves diferentes cumplen con esta afirmación?

Problema 12.
¿Cuántas manos de poker tienen una corrida?

Problema 13.
¿De cuantas formas pueden escogerse 2012 muffins de una pastelería que vende muffins de bluberry, plátano con nuez y chocolate?

"Caer está permitido. ¡Levantarse es obligatorio!"

~Proverbio Ruso