Diciembre 2011 - Sesión Navideña 4

XXVI Olimpiada Mexicana de Matemáticas en Baja California

Entrenamiento Ensenada - 21 de diciembre de 2011

Problema 1.
Una pista de carreras es recorrida por Pepe, que va corriendo, en 60 segundos; Bart, que va en patineta, la recorre en 45 segundos; y finalmente Carlos, que va en bicicleta, la recorre en 25 segundos. Si ellos salen el mismo tiempo, ¿cuánto tiempo tiene que pasar para que vuelvan a coincidir por primera vez? ¿Y si solo queremos que coincidan Pepe y Carlos?

Problema 2.
Diderot necesita colocar 250 focos de 100 watts y 75 focos de 60 watts en cajas, de forma que en cada caja se ponga la mayor cantidad posible de focos. No puede mezclar ambos tipos de focos en una misma caja, además en cada caja debe ir la misma cantidad de focos. ¿Cuántos focos deben ir en cada caja? ¿Cuántas cajas necesita Diderot?

Problema 3.
Enrique tiene una bolsa con menos de 200 canicas. Si Enrique las agrupa de 9 en 9 no sobra ninguna, y si las agrupa de 11 en 11 sobra 1. ¿Cuál es la menor cantidad de canicas que puede haber? ¿Y la mayor?

Problema 4.
En una serie de focos navideña hay foquitos verdes, blancos y rojos. Los verdes se encienden cada 15 segundos, los blancos cada 18 segundos y los rojos cada 110 segundos. Si al encenderse se encienden juntos, ¿cada cuántos segundos se encienden juntos otra vez? ¿Cuántas veces se encienden juntos durante una hora?

Problema 5.
Un trozo de cartulina mide \(100\)cm \(\times\) \(45\)cm y se quiere dibujar una cuadrícula de mayor tamaño posible de forma que todos sean cuadrados. ¿Cuál será el lado del mayor cuadrado posible?

Problema 6.
Se escribe con lápiz azul la lista de los múltiplos de 9, empezando con 9. Al lado de cada número azul se escribe con lápiz rojo la suma de sus dígitos. ¿Qué aparece antes en la lista roja, el número 45 o una secuencia de por lo menos cinco números 36?

Problema 7.
¿Por cuáles dígitos deben reemplazarse \(a\) y \(b\) para que \(65a1b\) sea un múltiplo de \(12\)?

Problema 8.
Con los dígitos del 1 al 6, encuentra un número de 6 dígitos distintos \(\overline{abcdef}\), tal que \(\overline{abc}\) sea múltiplo de 4, \(\overline{bcd}\) sea múltiplo de 5, \(\overline{cde}\) sea múltiplo de 3 y \(\overline{def}\) sea múltiplo de 11. ¿Podrías encontrar todos?

Problema 9.
Encuentra todos los enteros positivos \(n\) tales que \(n+1\) divida a \(n^2 + 1\).

Problema 10.
Demuestra que si 7 divide a \(3x + 2\) entonces 7 divide a \(15x^2 - 11x - 14\).

Problema 11.
Demuestra que: (a) \(n^3 - n\) es divisible por 3, (b) \(n^2 + n\) es disivible por 2, (c) \(n^5 - 5 n^3 + 4n\) es disivible por 5.

Problema 12.
Demuestra que el producto de \(n\) enteros (positivos) consecutivos es divisible por \(n!\).

Problema 13.
\(N\) es un número cuadrado perfecto de cuatro dígitos cada uno de ellos menores que 7. Aumentando cada dígito en tres unidades se obtiene otro cuadrado perfecto. Determina \(N\).

Problema 14.
Todos los números de dos dígitos desde 19 hasta 80 son escritos en una sola fila. El resultado es leído como el número \(1920212223 \ldots 77787980\). Prueba que dicho número es divisible por 1980.

Problema 15.
Determina todas las soluciones enteras de la ecuación \(x^4 = y^2 + 71\).

"Caer está permitido. ¡Levantarse es obligatorio!"

~Proverbio Ruso