Problema del Día - Problema Extra 12

Dos círculos \(C_1\) y \(C_2\) tienen una cuerda común \(AB\). Se elige un punto \(P\) en \(C_1\) de manera
que quede afuera de \(C_2\) y, sean \(X\) y \(Y\) la intersección de \(PA\) y \(PB\) con \(C_2\), respectivamente. Si \(AB = 4\), \(PA = 5\), \(PB = 7\) y \(AX = 16\), ¿cuál es la longitud de \(XY\)?

Problema del Día - Problema 26

Si el segmento \(AB\) es perpendicular a \(CD\), ¿cuánto mide el ángulo \(x\)?

Problema del Día - Problema 25

La recta \(L_1\) es paralela a \(L_2\), el ángulo \(\angle a = 100^{\circ}\) y el ángulo \(\angle b = 120^{\circ}\). ¿Cuánto mide el ángulo \(\angle c\)?

Problema del Día - Problema Extra 11

Nueve esferas de radio 1 se colocan dentro de una caja cúbica de manera que el centro de una de ellas coincida con el centro del cubo, y cada una de las otras sea tangente a la esfera del centro y a tres de las caras del cubo. ¿Cuál es la medida del lado del cubo?

Problema del Día - Problema 24

Un pantógrafo articulado formado por 9 pedazos está en la siguiente posición. ¿Cuánto vale el ángulo \(\alpha\) ? Nota: Cada segmento de recta tiene la misma longitud.

Problema del Día - Problema 23

En la figura, \(ABC\) y \(CDE\) son dos triángulos equiláteros iguales. Si el ángulo \(ACD\) mide \(80^{\circ}\), ¿cuánto mide el ángulo \(ABD\)?

Problema del Día - Problema 21

Un pastor tiene que pasar un lobo, una cabra y una lechuga a la otra orilla de un río, dispone de una barca en la que solo caben el y una de las otras tres cosas. Si el lobo se queda solo con la cabra se la come, si la cabra se queda sola con la lechuga se la come, ¿cómo debe hacerlo?

Problema del Día - Problema 20

Factoriza \(a^3 + b^3 + c^3 -3abc\).

Problema del Día - Problema Extra 9

En el triángulo \(ABC\), sean \(D\) y \(E\) puntos en los lados \(AB\) y \(AC\), respectivamente. Si el \(\angle ABC = \angle AED\), \(AD = 3\), \(AE = 2\) y \(DB = 2\), halla a \(EC\).

Problema del Día - Problema 19

En un avión con capacidad para 100 personas, el primer pasajero pierde su ubicación, y decide sentarse en cualquier asiento al azar. Según van subiendo los demás, si su asiento está libre lo ocupan, si está ocupado ocupan otro al azar. Cuando llega el pasajero número 100, ¿qué probabilidad tiene de encontrar su asiento vacío?

Problema del Día - Problema 18

Cuatro paquetes se pesan por parejas en todas las combinaciones posibles. Los pesos obtenidos son 5kg, 6kg, 8kg, 9kg, 11kg, y 12kg. ¿Cuál es el peso total de los 4 paquetes?

Problema del Día - Problema Extra 8

En el pizarrón se tienen escritos once números 1. Una posible operación es tomar dos números y sumarle a ambos 1, restarle a ambos 1 o sumarle a uno de los números 1 y restarle 1 al otro. ¿Es posible mediante estas operaciones tener escritos en el pizarrón once números 10?

Problema del Día - Problema 17

Determina el área de un triángulo con lados enteros y perímetro 8.

Problema del Día - Problema 16

Se tienen 100 fichas dispuestas en una mesa. Pepe y Toño juegan por turnos (Pepe juega primero). Una jugada consiste en retirar una o dos fichas de la mesa. Encuentra quien tiene la estrategia ganadora y cual es si:

a) gana el que retira la ultima ficha,
b) pierde el que retira la ultima ficha.

Problema del Día - Problema Extra 10

Sea \(ABCD\) un cuadrado de centro \(O\). Sobre los lados \(DC\) y \(AD\) se han contruído los triángulos equiláteros \(EDC\) y \(FAD\). ¿Qué área es mayor, la del triángulo \(FDE\) o la del triángulo \(DOC\)?

Problema del Día - Problema 22

En un círculo con centro \(O\), \(AD\) es un diámetro, \(ABC\) es una cuerda, \(BO = 5\) y \(\angle ABO = CD = 60^{\circ}\) como se muestra en la figura. ¿Cuánto vale la longitud de \(BC\)?

Examen de Práctica 1

26a Olimpiada Mexicana de Matemáticas en Baja California

OMM Ensenada - Examen de Práctica 1

Miércoles, 11 de enero del 2012

Problema 1.
En Letrolandia usan un alfabeto de 10 letras: A, B, C, D, E, O, P, Q, R, Z. Sólo se permite usar nombres de a lo más cinco letras de su alfabeto, y se puede utilizar cualquier combinación posible, por ejemplo hay una persona que se llama Zzq. Antes de que naciera Pedro 2, habían podido hacer que todos los nombres fueran diferentes. Pero por más esfuerzos que hicieron a Pedro 2 le tuvieron que poner el mismo nombre que a Pedro pero añadiéndole el 2. ¿Qué número de habitante es Pedro 2?

Problema 2.
¿Cuál es el último dígito de la suma
\[
(1^2 + 1) + (2^2 + 2) + \cdots + (2012^2 + 2012)?
\]

Problema 3.
Consideremos una cinta a lo largo del ecuador. Si se corta dicha cinta en un punto y se intercala un metro adicional de cinta, ¿a qué distancia se separará la cinta de la superficie?

Tiempo límite: 3 horas.

Tiempo para preguntas: 45 minutos.

Cada problema vale 4 puntos.

¡Mucho Éxito!

Enero 2012 - Lista 4 (Combinatoria, parte 2)

XXVI Olimpiada Mexicana de Matemáticas en Baja California

Entrenamiento Ensenada - 20 de enero de 2012

Segunda parte de los problemas de Beto en su entrenamiento de Combinatoria.

Problema 1.
Demostrar que
\[
\binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \binom{n}{2} + \ldots + \binom{n}{n} = 2^n.
\]

Problema 2.
¿Cuántas manos de poker tienen una tercia exactamente (es decir, no poker ni full)?

Problema 3.
Se construye la siguiente figura: se dibuja un cuadrado y sus diagonales; luego, sobre uno de sus lados se construye hacia afuera un triángulo equilátero; finalmente, se borra el lado que es común del triángulo y el cuadrado. ¿Es posible dibujar la figura resultante sin despegar el lápiz del papel ni pasar 2 veces por la misma línea?

Problema 4.
Demostrar que
\[
\binom{n}{0} + \binom{n}{2} + \ldots = \binom{n}{1} + \binom{n}{3} + \ldots
\]

Problema 5.
¿De cuantas formas pueden acomodarse 2009 estudiantes en Hogwart (considérese que este cuenta con 4 casas: Gryffindor, Slytherin Hufflepuff y Ravenclaw)?

Problema 6.
Un costal está lleno de ranas de chocolate con 20 cromos distintos. Al azar se van sacando ranas del costal. ¿Cuál es el mínimo número de ranas que deben sacarse para poder garantizar que en la colección tomada habrá al menos 100 cromos del mismo personaje?

Problema 7.
Encontrar el término que no contiene a \(x\) en el desarrollo de
\[
\left(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt[4]{x}}\right)^9.
\]

Problema 8.
¿Cuántas manos de poker tienen dos pares?

Problema 9.
¿De cuántas formas puede comprarse 20 lightsabers de una tienda que vende lightsabers de 5 colores?

Problema 10.
Probar que la expansión decimal de cualquier número racional es periódica.

Problema 11.
Un examen está formado por 10 preguntas que deben responderse como falso o verdadero. La clave del examen está diseñada de tal manera que si un estudiante responde al azar 5 falsos y 5 verdaderos seguro obtiene al menos 4 respuestas correctas. ¿Cuántas claves diferentes cumplen con esta afirmación?

Problema 12.
¿Cuántas manos de poker tienen una corrida?

Problema 13.
¿De cuantas formas pueden escogerse 2012 muffins de una pastelería que vende muffins de bluberry, plátano con nuez y chocolate?

"Caer está permitido. ¡Levantarse es obligatorio!"

~Proverbio Ruso

Enero 2012 - Lista 3 (Combinatoria, parte 1)

XXVI Olimpiada Mexicana de Matemáticas en Baja California

Entrenamiento Ensenada - 16 de enero de 2012

Estos son los problemas de Beto en su entrenamiento de Combinatoria.

Problema 1.
¿Puede acaso un caballo (pieza de ajedrez) que empieza en el recuadro A1 de un tablero de ajedrez y termina en el H8 visitar solamente una vez cada uno de los otros recuadros restantes?

Problema 2.
Se ordenan en una fila 5 bolas verdes, 2 amarillas y 3 anaranjadas. ¿De cuántas formas posibles pueden ordenarse?

Problema 3.
Dados 8 números naturales, ninguno mayor que 15, demuestre que al menos 3 pares de ellos tienen la misma diferencia positiva.

Problema 4.
3 libros distintos de matemáticas, 4 diferentes de física y 6 diferentes de química se colocan en un estante. ¿De cuántas formas distintas es posible ordenarlos si: a) los libros de cada materia deben estar todos juntos? b) solamente los libros de química deben estar juntos?

Problema 5.
Diez estudiantes resolvieron un total de 35 problemas en la OMM. Cada uno de los problemas fue resuelto por exactamente un estudiante. Hay al menos un estudiante que resolvió exactamente un problema, al menos un estudiante que resolvió exactamente dos problemas y al menos un estudiante que resolvió exactamente tres problemas. Demuestre que hay también al menos un estudiante que resolvió al menos cinco problemas.

Problema 6.
25 fichas han sido colocadas en un tablero de \(25 \times 25\) de tal manera que sus posiciones son simétricas respecto a una de las diagonales. Pruebe que al menos una de estas fichas esta posicionada sobre la diagonal.

Problema 7.
¿Cuántas palabras diferentes se pueden formar con las letras que contiene la palabra "matematicas"?

Problema 8.
¿Puede un tablero de \(5 \times 5\) ser cubierto por dominós?

Problema 9.
En un país de Tatooine hay nueve ciudades. Cada una de ellos con los nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Un viajero descubre que dos ciudades están conectadas por rutas aéreas si y solo si el numero de dos dígitos formado por escribir una ciudad y luego la otra, es divisible por 3. Puede el viajero llegar de la ciudad 1 a la 9?

Problema 10.
Dados 12 enteros, demostrar que dos de ellos pueden ser escogidos de tal manera que su diferencia es divisible por 11.

Problema 11.
Los números del 1 al 50 son escritos en una hoja. ¿Pueden los signos \(+\) y \(-\) ser colocados entre ellos de tal manera que el resultado de la expresión sea 0?

Problema 12.
En futbolandia hay \(M\) equipos de futbol, cada uno de los cuales tiene 11 jugadores. Todos los jugadores son reunidos en el aeropuerto para un viaje a otro país para un juego muy importante. Hay 10 vuelos a su destino, y resulta que cada vuelo tiene espacio para exactamente \(M\) pasajeros. Un jugador decide tomar su propio helicóptero al juego. Demuestre que al menos un equipo completo llegará a este juego.

Problema 13.
¿Cuántas banderas diferentes sin asta pueden formarse con los colores rojo, azul, verde, amarillo y blanco? ¿Y con asta?

Problema 14.
Ariel compró un cuaderno que contenía 96 hojas, las cuales numeró desde 1 hasta 192. Denisse arrancó 25 páginas de esta libreta y sumó los 50 números que se encontraban en las páginas. ¿Puede Denisse haber obtenido 1990 como suma?

Problema 15.
Muestra que en un grupo de 10 personas, hay dos que tienen un mismo número de amigos dentro de este grupo.

"Caer está permitido. ¡Levantarse es obligatorio!"

~Proverbio Ruso

Enero 2012 - Lista 2 (Teoría de Números, parte 2)

XXVI Olimpiada Mexicana de Matemáticas en Baja California

Entrenamiento Ensenada - 13 de enero de 2012

Esta es la segunda parte del entrenamiento de Denisse.

Problema 1.
Encuentra todos los números de la forma \(\overline{aba}\), que sean divisibles entre 11.

Problema 2.
Si el número primo \(p\) se escribe como \(p = p_1^2 + p_2^2 + p_3^2\), con \(p_1 < p_2 < p_3\), y con todos ellos primos, entonces demuestra que \(p_1 = 3\).

Problema 3.
Sean \(p\), \(q\) y \(r\) tres números primos distintos. Sea \(n = pqr^2\). ¿Cuántos divisores positivos tiene \(n\)?

Problema 4.
¿Cuál es el último dígito de \(3^{2005}\)?

Problema 5.
Un entero positivo \(n\) tiene exactamente 2 divisores positivos, mientras que el número \(n+1\) tiene exactamente 3 divisores positivos. ¿Cuántos divisores positivos tiene el número \(n+2\)?

Problema 6.
Sea \(n\) un número con 100 1's, 100 2's y 100 0's. ¿Puede \(n\) ser un cuadrado perfecto?

Problema 7.
Demuestra que \(p^2-1\) es divisible por 24, si \(p>3\) es un primo.

Problema 8.
Demuestra que \(p^2 - q^2\) es divisible por 24, si \(p\) y \(q\) son primos mayores a 3.

Problema 9.
Demuestra que \(n^5 + 4n\) es divisible por 5 para todo \(n\) natural.

Problema 10.
Demuestra que \(n^2+1\) no es divisible por 3 para ninguna \(n\).

Problema 11.
Encuentra todas las soluciones enteras a la ecuación \(x^3 + x^2 + x - 3 = 0\).

Problema 12.
Si \(3 | a+1\), entonces demuestra que \(3 | 7a + 4\).

Problema 13.
Encontrar todos los enteros positivos \(n\) tales que \(n^{20} + n^{10} + 1\) es un primo.

Problema 14.
Encuentra el menor \(n\) tal que \(n!\) es divisible por 990.

Problema 15.
Los números \(a\) y \(b\) satisfacen la ecuación \(56a=65b\). Demuestra que \(a+b\) es un número compuesto.

Problema 16.
¿Existe algún entero positivo \(n\) tal que \(n!\) tenga exactamente 11 ceros al final de su representación decimal?

Problema 17.
Una compañía de \(n\) soldados es tal que:

• \(n\) es un número capicúa,
• si los soldados se forman:

• de 3 en 3, quedan 2 soldados en la última fila;
• de 4 en 4, quedan 3 soldados en la última fila;
• de 5 en 5, quedan 4 soldados en la última fila.

Encontrar el menor \(n\) que cumple las condiciones.

Problema 18.
Sean \(a\), \(b\) y \(c\) dígitos que cumplen con las siguientes condiciones:

• 3 divide al número \(\overline{abc} + a$;
• 2 divide al número \(\overline{cba}$;
• 5 divide al número \(\overline{bac}\).

Demuestra que 2010 divide a
\[
(94 a^2 c + 47abc + 47ac^2)^{2011} + (40a^2c + 10abc + 20ac^2)^{2011}.
\]

"Caer está permitido. ¡Levantarse es obligatorio!"

~Proverbio Ruso