Problema del Día - Problema 23

En la figura, $ABC$ y $CDE$ son dos triángulos equiláteros iguales. Si el ángulo $ACD$ mide $80^{\circ}$, ¿cuánto mide el ángulo $ABD$?

Problema del Día - Problema 21

Un pastor tiene que pasar un lobo, una cabra y una lechuga a la otra orilla de un río, dispone de una barca en la que solo caben el y una de las otras tres cosas. Si el lobo se queda solo con la cabra se la come, si la cabra se queda sola con la lechuga se la come, ¿cómo debe hacerlo?

Problema del Día - Problema 20

Factoriza $a^3 + b^3 + c^3 -3abc$.

Problema del Día - Problema Extra 9

En el triángulo $ABC$, sean $D$ y $E$ puntos en los lados $AB$ y $AC$, respectivamente. Si el $\angle ABC = \angle AED$, $AD = 3$, $AE = 2$ y $DB = 2$, halla a $EC$.

Problema del Día - Problema 19

En un avión con capacidad para 100 personas, el primer pasajero pierde su ubicación, y decide sentarse en cualquier asiento al azar. Según van subiendo los demás, si su asiento está libre lo ocupan, si está ocupado ocupan otro al azar. Cuando llega el pasajero número 100, ¿qué probabilidad tiene de encontrar su asiento vacío?

Problema del Día - Problema 18

Cuatro paquetes se pesan por parejas en todas las combinaciones posibles. Los pesos obtenidos son 5kg, 6kg, 8kg, 9kg, 11kg, y 12kg. ¿Cuál es el peso total de los 4 paquetes?

Problema del Día - Problema Extra 8

En el pizarrón se tienen escritos once números 1. Una posible operación es tomar dos números y sumarle a ambos 1, restarle a ambos 1 o sumarle a uno de los números 1 y restarle 1 al otro. ¿Es posible mediante estas operaciones tener escritos en el pizarrón once números 10?

Problema del Día - Problema 17

Determina el área de un triángulo con lados enteros y perímetro 8.

Problema del Día - Problema 16

Se tienen 100 fichas dispuestas en una mesa. Pepe y Toño juegan por turnos (Pepe juega primero). Una jugada consiste en retirar una o dos fichas de la mesa. Encuentra quien tiene la estrategia ganadora y cual es si:

a) gana el que retira la ultima ficha,
b) pierde el que retira la ultima ficha.

Problema del Día - Problema Extra 10

Sea $ABCD$ un cuadrado de centro $O$. Sobre los lados $DC$ y $AD$ se han contruído los triángulos equiláteros $EDC$ y $FAD$. ¿Qué área es mayor, la del triángulo $FDE$ o la del triángulo $DOC$?

Problema del Día - Problema 22

En un círculo con centro $O$, $AD$ es un diámetro, $ABC$ es una cuerda, $BO = 5$ y $\angle ABO = CD = 60^{\circ}$ como se muestra en la figura. ¿Cuánto vale la longitud de $BC$?

Examen de Práctica 1

26a Olimpiada Mexicana de Matemáticas en Baja California

OMM Ensenada - Examen de Práctica 1

Miércoles, 11 de enero del 2012

Problema 1.
En Letrolandia usan un alfabeto de 10 letras: A, B, C, D, E, O, P, Q, R, Z. Sólo se permite usar nombres de a lo más cinco letras de su alfabeto, y se puede utilizar cualquier combinación posible, por ejemplo hay una persona que se llama Zzq. Antes de que naciera Pedro 2, habían podido hacer que todos los nombres fueran diferentes. Pero por más esfuerzos que hicieron a Pedro 2 le tuvieron que poner el mismo nombre que a Pedro pero añadiéndole el 2. ¿Qué número de habitante es Pedro 2?

Problema 2.
¿Cuál es el último dígito de la suma
$$(1^2 + 1) + (2^2 + 2) + \cdots + (2012^2 + 2012)?$$

Problema 3.
Consideremos una cinta a lo largo del ecuador. Si se corta dicha cinta en un punto y se intercala un metro adicional de cinta, ¿a qué distancia se separará la cinta de la superficie?

Tiempo límite: 3 horas.

Tiempo para preguntas: 45 minutos.

Cada problema vale 4 puntos.

¡Mucho Éxito!

Enero 2012 - Lista 4 (Combinatoria, parte 2)

XXVI Olimpiada Mexicana de Matemáticas en Baja California

Entrenamiento Ensenada - 20 de enero de 2012

Segunda parte de los problemas de Beto en su entrenamiento de Combinatoria.

Problema 1.
Demostrar que
$$\binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \binom{n}{2} + \ldots + \binom{n}{n} = 2^n.$$

Problema 2.
¿Cuántas manos de poker tienen una tercia exactamente (es decir, no poker ni full)?

Problema 3.
Se construye la siguiente figura: se dibuja un cuadrado y sus diagonales; luego, sobre uno de sus lados se construye hacia afuera un triángulo equilátero; finalmente, se borra el lado que es común del triángulo y el cuadrado. ¿Es posible dibujar la figura resultante sin despegar el lápiz del papel ni pasar 2 veces por la misma línea?

Problema 4.
Demostrar que
$$\binom{n}{0} + \binom{n}{2} + \ldots = \binom{n}{1} + \binom{n}{3} + \ldots$$

Problema 5.
¿De cuantas formas pueden acomodarse 2009 estudiantes en Hogwart (considérese que este cuenta con 4 casas: Gryffindor, Slytherin Hufflepuff y Ravenclaw)?

Problema 6.
Un costal está lleno de ranas de chocolate con 20 cromos distintos. Al azar se van sacando ranas del costal. ¿Cuál es el mínimo número de ranas que deben sacarse para poder garantizar que en la colección tomada habrá al menos 100 cromos del mismo personaje?

Problema 7.
Encontrar el término que no contiene a $x$ en el desarrollo de
$$\left(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt[4]{x}}\right)^9.$$

Problema 8.
¿Cuántas manos de poker tienen dos pares?

Problema 9.
¿De cuántas formas puede comprarse 20 lightsabers de una tienda que vende lightsabers de 5 colores?

Problema 10.
Probar que la expansión decimal de cualquier número racional es periódica.

Problema 11.
Un examen está formado por 10 preguntas que deben responderse como falso o verdadero. La clave del examen está diseñada de tal manera que si un estudiante responde al azar 5 falsos y 5 verdaderos seguro obtiene al menos 4 respuestas correctas. ¿Cuántas claves diferentes cumplen con esta afirmación?

Problema 12.
¿Cuántas manos de poker tienen una corrida?

Problema 13.
¿De cuantas formas pueden escogerse 2012 muffins de una pastelería que vende muffins de bluberry, plátano con nuez y chocolate?

"Caer está permitido. ¡Levantarse es obligatorio!"

~Proverbio Ruso

Enero 2012 - Lista 3 (Combinatoria, parte 1)

XXVI Olimpiada Mexicana de Matemáticas en Baja California

Entrenamiento Ensenada - 16 de enero de 2012

Estos son los problemas de Beto en su entrenamiento de Combinatoria.

Problema 1.
¿Puede acaso un caballo (pieza de ajedrez) que empieza en el recuadro A1 de un tablero de ajedrez y termina en el H8 visitar solamente una vez cada uno de los otros recuadros restantes?

Problema 2.
Se ordenan en una fila 5 bolas verdes, 2 amarillas y 3 anaranjadas. ¿De cuántas formas posibles pueden ordenarse?

Problema 3.
Dados 8 números naturales, ninguno mayor que 15, demuestre que al menos 3 pares de ellos tienen la misma diferencia positiva.

Problema 4.
3 libros distintos de matemáticas, 4 diferentes de física y 6 diferentes de química se colocan en un estante. ¿De cuántas formas distintas es posible ordenarlos si: a) los libros de cada materia deben estar todos juntos? b) solamente los libros de química deben estar juntos?

Problema 5.
Diez estudiantes resolvieron un total de 35 problemas en la OMM. Cada uno de los problemas fue resuelto por exactamente un estudiante. Hay al menos un estudiante que resolvió exactamente un problema, al menos un estudiante que resolvió exactamente dos problemas y al menos un estudiante que resolvió exactamente tres problemas. Demuestre que hay también al menos un estudiante que resolvió al menos cinco problemas.

Problema 6.
25 fichas han sido colocadas en un tablero de $25 \times 25$ de tal manera que sus posiciones son simétricas respecto a una de las diagonales. Pruebe que al menos una de estas fichas esta posicionada sobre la diagonal.

Problema 7.
¿Cuántas palabras diferentes se pueden formar con las letras que contiene la palabra "matematicas"?

Problema 8.
¿Puede un tablero de $5 \times 5$ ser cubierto por dominós?

Problema 9.
En un país de Tatooine hay nueve ciudades. Cada una de ellos con los nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Un viajero descubre que dos ciudades están conectadas por rutas aéreas si y solo si el numero de dos dígitos formado por escribir una ciudad y luego la otra, es divisible por 3. Puede el viajero llegar de la ciudad 1 a la 9?

Problema 10.
Dados 12 enteros, demostrar que dos de ellos pueden ser escogidos de tal manera que su diferencia es divisible por 11.

Problema 11.
Los números del 1 al 50 son escritos en una hoja. ¿Pueden los signos $+$ y $-$ ser colocados entre ellos de tal manera que el resultado de la expresión sea 0?

Problema 12.
En futbolandia hay $M$ equipos de futbol, cada uno de los cuales tiene 11 jugadores. Todos los jugadores son reunidos en el aeropuerto para un viaje a otro país para un juego muy importante. Hay 10 vuelos a su destino, y resulta que cada vuelo tiene espacio para exactamente $M$ pasajeros. Un jugador decide tomar su propio helicóptero al juego. Demuestre que al menos un equipo completo llegará a este juego.

Problema 13.
¿Cuántas banderas diferentes sin asta pueden formarse con los colores rojo, azul, verde, amarillo y blanco? ¿Y con asta?

Problema 14.
Ariel compró un cuaderno que contenía 96 hojas, las cuales numeró desde 1 hasta 192. Denisse arrancó 25 páginas de esta libreta y sumó los 50 números que se encontraban en las páginas. ¿Puede Denisse haber obtenido 1990 como suma?

Problema 15.
Muestra que en un grupo de 10 personas, hay dos que tienen un mismo número de amigos dentro de este grupo.

"Caer está permitido. ¡Levantarse es obligatorio!"

~Proverbio Ruso

Enero 2012 - Lista 2 (Teoría de Números, parte 2)

XXVI Olimpiada Mexicana de Matemáticas en Baja California

Entrenamiento Ensenada - 13 de enero de 2012

Esta es la segunda parte del entrenamiento de Denisse.

Problema 1.
Encuentra todos los números de la forma $\overline{aba}$, que sean divisibles entre 11.

Problema 2.
Si el número primo $p$ se escribe como $p = p_1^2 + p_2^2 + p_3^2$, con $p_1 < p_2 < p_3$, y con todos ellos primos, entonces demuestra que $p_1 = 3$.

Problema 3.
Sean $p$, $q$ y $r$ tres números primos distintos. Sea $n = pqr^2$. ¿Cuántos divisores positivos tiene $n$?

Problema 4.
¿Cuál es el último dígito de $3^{2005}$?

Problema 5.
Un entero positivo $n$ tiene exactamente 2 divisores positivos, mientras que el número $n+1$ tiene exactamente 3 divisores positivos. ¿Cuántos divisores positivos tiene el número $n+2$?

Problema 6.
Sea $n$ un número con 100 1's, 100 2's y 100 0's. ¿Puede $n$ ser un cuadrado perfecto?

Problema 7.
Demuestra que $p^2-1$ es divisible por 24, si $p>3$ es un primo.

Problema 8.
Demuestra que $p^2 - q^2$ es divisible por 24, si $p$ y $q$ son primos mayores a 3.

Problema 9.
Demuestra que $n^5 + 4n$ es divisible por 5 para todo $n$ natural.

Problema 10.
Demuestra que $n^2+1$ no es divisible por 3 para ninguna $n$.

Problema 11.
Encuentra todas las soluciones enteras a la ecuación $x^3 + x^2 + x - 3 = 0$.

Problema 12.
Si $3 | a+1$, entonces demuestra que $3 | 7a + 4$.

Problema 13.
Encontrar todos los enteros positivos $n$ tales que $n^{20} + n^{10} + 1$ es un primo.

Problema 14.
Encuentra el menor $n$ tal que $n!$ es divisible por 990.

Problema 15.
Los números $a$ y $b$ satisfacen la ecuación $56a=65b$. Demuestra que $a+b$ es un número compuesto.

Problema 16.
¿Existe algún entero positivo $n$ tal que $n!$ tenga exactamente 11 ceros al final de su representación decimal?

Problema 17.
Una compañía de $n$ soldados es tal que:

• $n$ es un número capicúa,
• si los soldados se forman:

• de 3 en 3, quedan 2 soldados en la última fila;
• de 4 en 4, quedan 3 soldados en la última fila;
• de 5 en 5, quedan 4 soldados en la última fila.

Encontrar el menor $n$ que cumple las condiciones.

Problema 18.
Sean $a$, $b$ y $c$ dígitos que cumplen con las siguientes condiciones:

• 3 divide al número \(\overline{abc} + a$;
• 2 divide al número \(\overline{cba}$;
• 5 divide al número $\overline{bac}$.

Demuestra que 2010 divide a
$$(94 a^2 c + 47abc + 47ac^2)^{2011} + (40a^2c + 10abc + 20ac^2)^{2011}.$$

"Caer está permitido. ¡Levantarse es obligatorio!"

~Proverbio Ruso

Problema del Día - Problema Extra 7

Demuestre que de la igualdad $a^2 +b^2+c^2=ab+ac+bc$ donde $a$, $b$ y $c$ son números reales, se deduce que $a=b=c$.

Problema del Día - Problema 15

Si en la suma
$$\begin{array}{ccccc}  & S & E & N & D \\ + & M & O & R & E \\ \hline M & O & N & E & Y \end{array}$$
cada una de las letras representa un dígito, determine el valor de cada letra. Nota: Letras distintas representan dígitos distintos.

Enero 2012 - Lista 1 (Teoría de Números, parte 1)

XXVI Olimpiada Mexicana de Matemáticas en Baja California

Entrenamiento Ensenada - 9 de enero de 2012

 

Escrito por: Denisse

Introducción

En este trabajo se darán a conocer algunas herramientas de un área de las matemáticas llamada teoría de números, que en pocas palabras estudia propiedades de los números enteros. Son tres los temas principales que se tocarán a continuación:

• Teorema Fundamental de la Aritmética,
• Máximo Común Divisor, y
• Mínimo Común Múltiplo.

Y bien, ¡adentrémonos en el mundo de los enteros!

Teorema Fundamental de la Aritmética

El teorema fundamental de la aritmética nos dice que existe una única factorización en números primos de cada número entero natural no nulo y distinto de uno e, inversamente, cada producto de factores primos tiene como resultado un único número natural no nulo y distinto de uno.

Problemas

Problema 1.

¿Es cierto que 2 divide a $29 \cdot 7$?

Problema 2.

¿Es cierto que 5 divide a $34 \cdot 25$?

Problema 3.

¿Es cierto que 8 divide a $22 \cdot 32 \cdot 7 \cdot 11$?

Problema 4.

¿Es cierto que 9 divide a $3 \cdot 47$?

Problema 5.

¿Es cierto que 6 divide a $25 \cdot 3 \cdot 23$?

Problema 6.

¿Es cierto que un número divisible por 3 y por 4 es divisible por 12?

Problema 7.

¿Es cierto que un número divisible por 6 y por 4 es divisible por 24?

Problema 8.

Sea $n$ un número par. ¿Es $3n$ divisible por 6?

Problema 9.

Sea $5n$ un número divisible por 3. ¿Es $n$ divisible por 3?

Problema 10.

Sea $n$ un número divisible por 4. ¿Es $3n$ divisible por 8?

Máximo Común Divisor

El Máximo Común Divisor de dos números naturales es el entero positivo más grande que los divide a ambos. Dados dos números $a$ y $b$, el máximo común divisor se denota como MCD$(a,b)$ ó simplemente $(a,b)$.

Problemas

Problema 1.

Calcula el MCD de las siguientes parejas de números:

1. $a = 25 \cdot 3 \cdot 23$, $b = 27 \cdot 3 \cdot 47$.
2. $a = 7 \cdot 11$, $b = 25 \cdot 3$.
3. $a = 3 \cdot 5$, $b = 28 \cdot 3 \cdot 11$.

Mínimo Común Múltiplo

El Mínimo Común Múltiplo de dos números naturales es el entero positivo más chico tal que es múltiplo de ambos. Dados dos números $a$ y $b$, el mínimo común múltiplo se denota como mcm$[a,b]$ ó simplemente $[a,b]$.

Problemas

Problema 1.

Calcula el mcm de las siguientes parejas de números:

1. $a = 25 \cdot 3 \cdot 23$, $b = 27 \cdot 3 \cdot 47$.
2. $a =7 \cdot 11$, $b = 25 \cdot 3$.
3. $a = 3 \cdot 5$, $b = 28 \cdot 3 \cdot 11$.

Lista de Problemas

A continuación, una pequeña pero importante lista de problemas que están estrechamente relacionados con los temas que se han visto en este trabajo.

Problema 1.

Demuestra que si $b|a$ y $c|b$, entonces $c|a$.

Problema 2.

Demuestra que si $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, entonces $\frac{a+c}{b+d} = \frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.

Problema 3.

Encuentra todos los valores enteros positivos $n$ para los cuales $n^2-3n+2$ es un número primo.

Problema 4.

Un cierto número entero $n$ al ser multiplicado por 5880 es un cubo perfecto, encontrarlo.

Problema 5.

Encuentra todas las soluciones enteras a las siguientes ecuaciones: a) $x^2-y^2 = 31$, b) $x^2-y^2 = 303$.

Problema 6.

Demuestra que el producto de 3 enteros consecutivos es divisible por 6.

Problema 7.

Demuestra que el producto de 4 enteros consecutivos es divisible por 24.

Problema 8.

Demuestra que el producto de 5 enteros consecutivos es divisible por 120.

Problema 9.

Demuestra que existen 1000 números consecutivos tales que ninguno de ellos es primo.

Problema 10.

Exactamente una de las siguientes afirmaciones acerca del número de mi casa es falso:

• La suma de las cifras del número es 6.
• Dos de las cifras del número son iguales.
• El número es menor que 110.
• El número es mayor que 40.
• El número es primo.

¿Cuál es el número de mi casa?

Problema 11.

Demuestra que existe una cantidad infinita de números primos. TIP: Supón que existe una cantidad finita de números primos.

Problema 12.

Si $3|x^2+y^2$, demuestra que $x$, $y$ son múltiplos de 3.

Problema 13.

Demuestra que $(a, b) \cdot [a, b] = a \cdot b$, siendo $a$, $b$ números enteros.

"Caer está permitido. ¡Levantarse es obligatorio!"

~Proverbio Ruso

Problema del Día - Problema 14

Demuestra la desigualdad
$$\frac{x^2}{x^4+1} \leq \frac{1}{2}$$
donde $x$ es cualquier número real.

Diciembre 2011 - Sesión Navideña 5

XXVI Olimpiada Mexicana de Matemáticas en Baja California

Entrenamiento Ensenada - 23 de diciembre de 2011

Problema 1.
Si el lado del cuadrado es 1, ¿cuál es el valor de la región sombreada?

Problema 2.
Se tiene un cuadrado $ABCD$ de lado 1cm. Se contruye otro cuadrado $CAKP$ donde uno de sus lados coincide con una diagonal del cuadrado original. ¿Cuánto vale el área del cuadrado $CAKP$?

Problema 3.
Cada lado de un rectángulo se divide en tres segmentos de la misma longitud; los puntos obtenidos se unen definiendo un punto en el centro, como se indica en la figura. ¿Cuánto es el cociente del área de la parte blanca entre el área de la parte gris?

Problema 4.
Se tiene un cuadrado $ABCD$ de área 1. Sobre la diagonal $AC$, se dibujan los puntos $M$ y $N$ de tal forma que $AC$ quede dividido en tres segmentos iguales. Por último, se construye un cuadrado $MPNO$ tal que $MN$ es una de sus diagonales. ¿Cuál es el área del cuadrado $MPNO$?

Problema 5.
¿Cuál es el perímetro del paralelogramo?

Problema 6.
Se tiene un triángulo rectángulo $ABC$, con ángulo recto en $C$. Sobre el lado $BC$ se coloca el punto $P$, tal que $BP = 5$ y $PC = 6$. Si se sabe que $PA = 10$, ¿cuánto vale el área del triángulo $ABP$?

Problema 7.
Dos triángulos equiláteros iguales con perímetro de $18$cm se traslapan de manera que sus lados quedan paralelos como indica la figura. ¿Cuál es el perímetro del hexágono que queda formado adentro de la figura?

Problema 8.
Jorge está construyendo una caja. El empieza con un papel de $10 \times 7$, y luego corta un cuadradito de $2 \times 2$ en cada una de las esquinas. Para terminar, él dobla cada lado para formar la caja. ¿Cuál es el volumen de la caja?

Problema 9.
La altura $CH$ y la mediana $BK$ se dibujan en el triángulo acutángulo $ABC$. Se sabe que $BK = CH$ y que $\angle KBC = \angle HCB$. Demuestra que $ABC$ es un triángulo equilátero.

Problema 10.
Dado el cuadrilátero $ABCD$ con ángulos rectos en $B$ y $D$, se sabe que $BC = 1$, $CD = 4$ y $AD = 3$. Calcula el área de $ABCD$.

Problema 11.
Un cuadrado de área 125 se divide en 5 partes de áreas iguales de las cuales 4 son cuadrados. Éstos se acomodan de forma que uno está en la equina superior izquierda, luego dos cuadrados están uno justo a la derecha y el otro justo debajo del primero. El cuarto cuadrado está entre el 2do y 3er cuadrado. ¿Cuál es la longitud del lado más pequeño de la región en forma de $L$?

Problema 12.
El rectángulo de la figura está dividido en 8 regiones. Las áreas de tres de las regiones son 2, 3 y 20 según se indica en la figura. Encuentra el área de la región sombreada.

Problema 13.
Se tiene un cuadrado $ABCD$. Dentro de él, están los triángulos equiláteros $ABE$ y $CDF$. Si $AB = 1$, ¿cuándo mide $EF$?

Problema 14.
Se tiene un triángulo $ABC$ equilátero de lado 3. Los puntos $E$ y $D$ están sobre el lado $AB$, y el punto $F$ está sobre el lado $CA$, de tal forma que $BE = DA = FC = 1$. ¿Cuánto mide el ángulo $DFE$?

Problema 15.
En el triángulo $ABC$, el ángulo en $C$ mide $90^{\circ}$. Sean $E$ y $F$ puntos en la hipotenusa $AB$ tales que $AE = AC$ y $BF = BC$. Encuentra el valor de $\angle ECF$.

Problema 16.
Sea $ABC$ un triángulo. Sean $E$ y $D$ puntos sobre los lados $AC$ y $BC$, respectivamente. La bisectriz del ángulo $\angle CAD$ y la bisectriz del ángulo $\angle CBE$ se cortan en el punto $F$. Si $\angle AFB = 30^{\circ}$, ¿cuánto vale $\angle AEB + \angle ADB$?

Problema 17.
En la figura, se tiene un triángulo $ABC$. El punto $D$ sobre $AC$ es tal que $AB = AD$. Se sabe que $\angle ABC - \angle ACB = 30^{\circ}$. Encuentra $\angle CBD$.

Problema 18.
Sea $ABCD$ un cuadrilátero tal que $\angle C = 76^{\circ}$ y $\angle D = 128^{\circ}$. Se trazan las bisectrices de $\angle A$ y de $\angle B$, que se cortan en $P$. Encuentra $\angle APB$.

Problema 19.
Sea $ABCD$ un cuadrilátero tal que $AB = AC$, $AD = BD$ y $\angle ADB = 30^{\circ} + \angle BAC$. ¿Cuánto vale $\angle CBD$?

Problema 20.
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Sea $P$ un punto dentro del triángulo $ABC$ tal que $\angle APB = \angle BPC = \angle CPA$. Demuestra que las líneas $AP$, $BP$ y $CP$ son bisectrices de los ángulos $\angle BPC$, $\angle CPA$ y $\angle APB$, respectivamente.

"Caer está permitido. ¡Levantarse es obligatorio!"

~Proverbio Ruso

Problema del Día - Problema 13

Encuentra todas las parejas de enteros positivos $(a,b)$ tales que $a^4 + 1$ y $b^2 + 1$ no son divisibles por 39 pero $(a^4 + 1)(b^2 + 1)$ sí lo es.

Problema del Día - Problema Extra 6

Encontrar todos los enteros positivos $x$ tales que $x^2 = 3^{x-11}+144$.

Problema del Día - Problema 12

La suma de 18 enteros consecutivos positivos es un cuadrado perfecto. Encontrar el mínimo valor que puede tener esa suma.

Diciembre 2011 - Sesión Navideña 4

XXVI Olimpiada Mexicana de Matemáticas en Baja California

Entrenamiento Ensenada - 21 de diciembre de 2011

Problema 1.
Una pista de carreras es recorrida por Pepe, que va corriendo, en 60 segundos; Bart, que va en patineta, la recorre en 45 segundos; y finalmente Carlos, que va en bicicleta, la recorre en 25 segundos. Si ellos salen el mismo tiempo, ¿cuánto tiempo tiene que pasar para que vuelvan a coincidir por primera vez? ¿Y si solo queremos que coincidan Pepe y Carlos?

Problema 2.
Diderot necesita colocar 250 focos de 100 watts y 75 focos de 60 watts en cajas, de forma que en cada caja se ponga la mayor cantidad posible de focos. No puede mezclar ambos tipos de focos en una misma caja, además en cada caja debe ir la misma cantidad de focos. ¿Cuántos focos deben ir en cada caja? ¿Cuántas cajas necesita Diderot?

Problema 3.
Enrique tiene una bolsa con menos de 200 canicas. Si Enrique las agrupa de 9 en 9 no sobra ninguna, y si las agrupa de 11 en 11 sobra 1. ¿Cuál es la menor cantidad de canicas que puede haber? ¿Y la mayor?

Problema 4.
En una serie de focos navideña hay foquitos verdes, blancos y rojos. Los verdes se encienden cada 15 segundos, los blancos cada 18 segundos y los rojos cada 110 segundos. Si al encenderse se encienden juntos, ¿cada cuántos segundos se encienden juntos otra vez? ¿Cuántas veces se encienden juntos durante una hora?

Problema 5.
Un trozo de cartulina mide $100$cm $\times$ $45$cm y se quiere dibujar una cuadrícula de mayor tamaño posible de forma que todos sean cuadrados. ¿Cuál será el lado del mayor cuadrado posible?

Problema 6.
Se escribe con lápiz azul la lista de los múltiplos de 9, empezando con 9. Al lado de cada número azul se escribe con lápiz rojo la suma de sus dígitos. ¿Qué aparece antes en la lista roja, el número 45 o una secuencia de por lo menos cinco números 36?

Problema 7.
¿Por cuáles dígitos deben reemplazarse $a$ y $b$ para que $65a1b$ sea un múltiplo de $12$?

Problema 8.
Con los dígitos del 1 al 6, encuentra un número de 6 dígitos distintos $\overline{abcdef}$, tal que $\overline{abc}$ sea múltiplo de 4, $\overline{bcd}$ sea múltiplo de 5, $\overline{cde}$ sea múltiplo de 3 y $\overline{def}$ sea múltiplo de 11. ¿Podrías encontrar todos?

Problema 9.
Encuentra todos los enteros positivos $n$ tales que $n+1$ divida a $n^2 + 1$.

Problema 10.
Demuestra que si 7 divide a $3x + 2$ entonces 7 divide a $15x^2 - 11x - 14$.

Problema 11.
Demuestra que: (a) $n^3 - n$ es divisible por 3, (b) $n^2 + n$ es disivible por 2, (c) $n^5 - 5 n^3 + 4n$ es disivible por 5.

Problema 12.
Demuestra que el producto de $n$ enteros (positivos) consecutivos es divisible por $n!$.

Problema 13.
$N$ es un número cuadrado perfecto de cuatro dígitos cada uno de ellos menores que 7. Aumentando cada dígito en tres unidades se obtiene otro cuadrado perfecto. Determina $N$.

Problema 14.
Todos los números de dos dígitos desde 19 hasta 80 son escritos en una sola fila. El resultado es leído como el número $1920212223 \ldots 77787980$. Prueba que dicho número es divisible por 1980.

Problema 15.
Determina todas las soluciones enteras de la ecuación $x^4 = y^2 + 71$.

"Caer está permitido. ¡Levantarse es obligatorio!"

~Proverbio Ruso

Diciembre 2011 - Sesión Navideña 3

XXVI Olimpiada Mexicana de Matemáticas en Baja California

Entrenamiento Ensenada - 19 de diciembre de 2011

Problema 1.
¿Cuántos números enteros (positivos) de a lo más tres dígitos hay?

Problema 2.
¿Cuántas palabras de tres letras se pueden formar con un alfabeto de dos letras distintas?

Problema 3.
¿Cuántas placas distintas hay con dos letras a la izquierda y tres números (de un dígito) a la derecha?

Problema 4.
¿Cuántas banderas de dos colores se pueden elaborar si se tienen 4 lienzos de tela de colores distintos y un asta? ¿Y si no hubiera asta?

Problema 5.
¿De cuántas formas se pueden sentar 5 personas en 5 sillas numeradas del 1 al 5?

Problema 6.
De un grupo de 5 estudiantes quiere elegirse una comisión de 3 para que cada uno visite un museo de una lista de 3 museos. ¿Cuántas comisiones distintas se pueden formar?

Problema 7.
De un grupo de 5 estudiantes quiere elegirse una comisión de 3 para que juntos visiten un museo (el mismo todos). ¿Cuántas comisiones disferentes se pueden formar?

Problema 8.
Sea $X = \{ a, b, c, d, e \}$. Escribe todos los subconjuntos de $X$ con 0 elementos, 1 elemento, 2 elementos, etcétera, hasta los de 5 elementos.

Problema 9.
Explica porqué
$$\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}.$$
Problema 10.
De un grupo de 10 niños y 15 niñas se quiere formar un equipo de 5 jóvenes que tenga exactamente 2 niñas. ¿Cuántos equipos distintos se pueden formar?

Problema 11.
De un grupo de 10 niños y 15 niñas se quiere formar un equipo de 5 jóvenes que tenga a lo más 2 niñas. ¿Cuántos equipos distintos se pueden formar?

Problema 12.
Un grupo de 15 personas quiere dividirse en 3 equipos de 5 personas cada uno. Cada uno tendrá una labor específica distinta a las demás. ¿De cuántas formas distintas es posible hacer la distribución?

Problema 13.
Un grupo de 15 personas quiere dividirse en 3 equipos de 5 personas cada uno. Cada equipo tendrá la misma labor. ¿De cuántas formas distintas es posible hacer la distribución?

Problema 14.
En una bolsa hay 3 pelotas rojas y 2 azules. Se quiere formar una fila con todas ellas. ¿De cuántas maneras distintas puede quedar la fila?

Problema 15.
En una bolsa hay 3 pelotas rojas y 2 azules. ¿Cuántas filas distintas de 3 pelotas se pueden formar?

Problema 16.
¿De cuántas maneras pueden ordenarase en un estante 3 cuadernos rojos, 4 azules y 2 verdes, si los verdes no deben quedar juntos?

"Caer está permitido. ¡Levantarse es obligatorio!"

~Proverbio Ruso

Diciembre 2011 - Sesión Navideña 2

XXVI Olimpiada Mexicana de Matemáticas en Baja California

Entrenamiento Ensenada - 14 de diciembre de 2011

Problema 1.
En un triángulo de área 1 sabemos que sus lados tienen longitud $a$, $b$, $c$, y que $a \geq b \geq c$. Demuestra que $b \geq \sqrt{2}$.

Problema 2.
Se tienen dos urnas, cada una de las cuales contiene un número arbitrario de bolas (ninguna de las urnas está vacía). Se nos permite hacer dos tipos de operaciones: a) Remover un número igual de bolas simultáneamente de ambas urnas. b) Duplicar el número de bolas en alguna de las urnas. Demuestra que después de llevar a cabo estas operaciones un número finito de veces, ambas urnas pueden ser vaciadas.

Problema 3.
Encuentra todos los enteros positivos que puedan ser representados como suma y producto de una misma serie de más de un número entero. Ejemplo: $10 = 5 \times 2 \times 1 \times 1 \times 1 = 5 + 2 + 1 + 1 + 1$.

Problema 4.
¿Cuánto mide el área de un cuadrado inscrito en una semicircunferencia de radio 1?

Problema 5.
¿Cuál es el último dígito de $3^{2011}$?

Problema 6.
Cada arista de un cubo es coloreada de rojo o negro. Cada cara del cubo tiene por lo menos una arista negra. Encuentra la menor cantidad de aristas negras que puede tener un cubo.

"Caer está permitido. ¡Levantarse es obligatorio!"

~Proverbio Ruso

Diciembre 2012 - Sesión Navideña 1

XXVI Olimpiada Mexicana de Matemáticas en Baja California

Entrenamiento Ensenada - 12 de diciembre de 2011

Problema 1.

Encuentra un número de 5 dígitos que cumpla: todos los dígitos del número son pares y diferentes; el número formado por los últimos 2 dígitos es el triple del 1ro; el 2do dígito es la cuarta parte del número formado por los 2 últimos dígitos; el 3er dígito es el menor de todos y el penúltimo dígito es la mitad del último.

Problema 2.

Un explorador cayó en manos de una tribu de indígenas y se le propuso la elección entre morir en la hoguera o envenenado. Para ello, el condenado debía pronunciar una frase tal que, si era cierta, moriría envenenado, y si era falsa, moriría en la hoguera. ¿Cómo escapó el condenado a morir?

Problema 3.

(a) Una escalera tiene 100 escalones. Una paloma se posa en el primer escalón, dos palomas en el segundo, tres en el tercero y así sucesivamente. ¿Cuántas palomas hay en total? (b) Un temblor provocó que las palomas hicieran lo siguiente: si estaban en un escalón impar, de ese escalón voló exactamente una paloma; si estaban en un escalón par, de ese escalón voló exactamente la mitad. ¿Cuántas palomas quedaron en total?

Problema 4.

¿Cuántos números enteros hay entre 1 y 1,000 tales que la suma de sus dígitos es igual a 7?

Problema 5.

Se tiene un triángulo $ABC$ de área $60m^2$. Sobre el lado $BC$ se marca un punto $D$, tal que la medida de $DC$ es la tercera parte de la medida de $BC$. ¿Cuál es el área del triángulo $ADC$?

Problema 6.

¿Cuál es el menor múltiplo (positivo) de 60 que es un cuadrado perfecto?

Problema 7.

Si $A$ es la suma de todos los múltiplos de 4 mayores que 0 y menores o iguales que 2012, y si $B$ es la suma de todos los enteros que dejan residuo 2 al dividirlos por 4 mayores que 0 y menores o iguales a 2010, ¿cuánto vale $A - B$?

Problema 8.

Un jeque poseía 140 camellos. Su mujer estaba embarazada y el jeque dejó por escrito que si tenía un varón, éste recibiría de herencia el doble que la madre, si era mujer, la madre recibiría el doble que la hija. Falleció el jeque y nacieron una mujer y un hombre. ¿Cómo se repartieron los 140 camellos entre los tres?

Problema 9.

La suma de 2011 enteros consecutivos es 14,077. ¿Cuánto vale el más pequeño de ellos?

Problema 10.

¿De cuántas maneras puedes colocar un cubo de $2010 \times 2010 \times 2010$, dentro de un cubo de $2012 \times 2012 \times 2012$ de manera que los cubitos del primer cubo coincidan con los cubitos del segundo?

Problema 11.

Tienes muchos palitos de $6cm$ y $7cm$ de longitud. ¿Cuál es el menor número de palitos que necesitas para construir una fila de exactamente $2m$ de longitud?

Problema 12.

Se tiene una telaraña que consta de la orilla de un cuadrado de $1m$ de lado, y además de las prolongaciones (cada una de $0.5m$ de longitud) de cada lado del cuadrado por ambos lados. Dos arañas pueden convivir si la distancia entre ellas es mayor a $1m$. ¿Cuál es el número máximo de arañas que pueden convivir sobre la telaraña?

Problema 13.

Se tiene un cuadrado de lado $2cm$, y un círculo inscrito dentro del cuadrado. Dentro del círculo, hay un cuadrado más pequeño inscrito. Encuentra el área del cuadrado pequeño.

"Caer está permitido. ¡Levantarse es obligatorio!"

~Proverbio Ruso

Problema del Día - Problema 11

Demuestra que el producto de tres enteros positivos consecutivos no puede ser un cubo perfecto.

Problema del Día - Problema Extra 5

Encontrar todas las parejas de enteros positivos $(n,p)$ tales que $p$ es primo y $p^n-9n = n^p$.

Problema del Día - Problema 10

Si $2^{x+1}+2^x= 3^{y+2} - 3^y$, donde $x$ & $y$ son enteros, ¿cuál es el valor de $x$?

Problema del Día - Problema 9

Encontrar los enteros tales que la suma de 4020 enteros consecutivos es 2010.

Problema del Día - Problema Extra 4

La lista $\{x_1, x_2,\ldots ,x_n\}$ donde $x_1 = 1$ y $x_n = 1000$; es la sucesión más larga de enteros positivos tal que cada término a partir del tercero es la suma de todos los anteriores (por ejemplo $x_4 = x_1 + x_2 + x_3$). ¿Cuánto vale $x_2$?

Problema del Día - Problema 8

Si
$$y = \sqrt{1 + 2013 \sqrt{1 + 2014 \sqrt{1 + 2015 \sqrt{1 + 2016 \cdot 2018}}}}$$
¿cuánto vale $y$?

Problema del Día - Problema Extra 3

Mostrar que:
$$\binom{p-1}{k} \equiv (-1)^k \pmod{p}.$$

Problema del Día - Problema Extra 2

Demostrar que para cualquier entero positivo $n$ el número $(n^3 - n)(5^{8n+4}+3^{4n+2})$ es divisible entre 3804.

Problema del Día - Problema Extra 1

Encontrar todas las soluciones enteras positivas de
$$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2012}.$$

Problema del Día - Problema 7

Tenemos 5 casas de colores distintos.

1. Hay 5 personas de diferente nacionalidad, siendo, cada una dueña de una casa distinta.
2. Estas cinco personas toman alguna bebida, fuman cigarrillos de una marca y tienen mascota, todas respectivamente distintas.

Premisas:

1. El inglés vive en la casa roja.
2. La mascota del sueco es un perro.
3. El danés bebe té.
4. La casa verde es la inmediata de la izquierda de la casa blanca.
5. El dueño de la casa verde toma café.
6. La persona que fuma Pall Mall cría pájaros.
7. El dueño de la casa amarilla fuma Dunhill.
8. El hombre que vive en la casa del centro toma leche.
9. El noruego vive en la primera casa.
10. La persona que fuma Blend vive junto a la que tiene gatos.
11. El hombre que tiene caballos vive junto al que fuma Dunhill.
12. La persona que fuma Blue Master bebe cerveza.
13. El alemán fuma Prince
14. El noruego vive junto a la casa azul.
15. El hombre que fuma Blend tiene un vecino que bebe agua.

¿Quién tiene por mascota los peces?

Problema del Día - Problema 6

Ana y Beto están jugando a romper una barra de chocolate de $6 \times 8$ cuadritos. En cada turno pueden romper através de las divisiones entre los cuadritos. Si siguen jugando hasta que ya no puedan romper más, el jugador que ya no pueda mover pierde. ¿Quién ganará?

Problema del Día - Problema 5

Se escriben en un pizarrón los números del 1 al 2011. Una operación consiste en reemplazar dos números con su diferencia positiva. Después de hacer esto hasta que sólo quede un número, ¿es posible que éste sea 0?

Problema del Día - Problema 4

¿De cuántas formas se puede colorear un tablero de $3\times 3$, si cada cuadrito se debe de colorear con uno de los colores azul, blanco o café y además en cada columna y en cada renglón deben de estar los tres colores?

Problema del Día - Problema 3

Si al dividir el número $823402709640276a7$ entre 8 el residuo es 5, ¿cuáles son los posibles valores del dígito $a$?

Problema del Día - Problema 2

La suma de cinco enteros positivos consecutivos es un cubo perfecto y la suma de los tres números de en medio es un cuadrado perfecto ¿Cuál es el valor mínimo del número de en medio?

Problema del Día - Problema 1

Si la altura de un triángulo isósceles $ABC$ es de 4cm, ¿a qué altura de la base debe colocarse una recta $ED$, paralela a $BC$, para que el área del trapecio $DBCE$ sea la mitad del área del $ABC$?